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偏微分方程式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学偏微分方程式

$u$ を $R^{2}$ 上の実数値 $C^{1}$ 級関数とし、
$x u_{x} (x, y) + y u_{y} (x, y) = u (x, y) ((x, y) \in R^{2})$
をみたすとする。このとき、 $a = u_{x} (0, 0)$ , $b = u_{y} (0, 0)$ とおくと、すべての $(x, y) \in R^{2}$ について
$u (x, y) = a x + b y$
が成り立つことを示せ。

この問題で使うもの

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（説明と入口の問題）
多変数の連鎖律（説明と入口の問題）
平均値の定理（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

方程式の特性曲線（ $\frac{d x}{d s} = x, \frac{d y}{d s} = y$ の解）は原点から出る半直線である。各点 $(x, y)$ について、半直線上の値 $g (s) = u (s x, sy)$ $(s > 0)$ を調べる。

ヒント 2

連鎖律と方程式から $g^{'} (s) = g (s) / s$ が得られ、 $g (s) / s$ が定数、つまり $u (s x, sy) = s u (x, y)$ （1 次の斉次性）がわかる。

ヒント 3

$s \to + 0$ として $u (0, 0) = 0$ を得たあと、原点での全微分 $u (h, k) = ah + bk + o (h^{2} + k^{2})$ に $(h, k) = (s x, sy)$ を代入し、斉次性と比べる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

特性曲線が原点からの半直線であることに着目し、 $g (s) = u (s x, sy)$ に連鎖律と方程式を用いて $g^{'} (s) = g (s) / s$ を導いている（3 点）
$(g (s) / s)^{'} = 0$ から $u (s x, sy) = s u (x, y)$ $(s > 0)$ を示している（2 点）
$s \to + 0$ と $u$ の連続性から $u (0, 0) = 0$ を示している（2 点）
原点での全微分の式に $(h, k) = (s x, sy)$ を代入し、斉次性と合わせて $s \to + 0$ の極限で $u (x, y) = a x + b y$ を結論している（3 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方程式 $x u_{x} + y u_{y} = u$ の特性曲線は $\frac{d x}{d s} = x, \frac{d y}{d s} = y$ の解、すなわち原点から出る半直線である。そこで、各点 $(x, y)$ を通る半直線 ${(s x, sy) : s > 0}$ に沿って $u$ を調べる。

ステップ 1：半直線に沿った $u$ の振る舞い。

$(x, y) \in R^{2}$ を固定し、 $s > 0$ に対して $g (s) = u (s x, sy)$ とおく。 $u$ は $C^{1}$ 級なので連鎖律により $g$ は $(0, \infty)$ で微分可能で
$g^{'} (s) = x u_{x} (s x, sy) + y u_{y} (s x, sy) .$
方程式を点 $(s x, sy)$ で用いると $(s x) u_{x} (s x, sy) + (sy) u_{y} (s x, sy) = u (s x, sy)$ なので、両辺を $s > 0$ で割って
$g^{'} (s) = \frac{g ( s )}{s} (s > 0) .$
したがって
$\frac{d}{d s} (\frac{g ( s )}{s}) = \frac{s g ^{'} ( s ) - g ( s )}{s ^{2}} = 0 (s > 0) .$
区間 $(0, \infty)$ 上で導関数が $0$ の関数は（平均値の定理により）定数だから、 $g (s) / s = g (1)$ 、すなわち
$u (s x, sy) = s u (x, y) (s > 0, (x, y) \in R^{2}) . (1)$

ステップ 2： $u (0, 0) = 0$ 。

$(1)$ で $(x, y) = (1, 0)$ とすると $u (s, 0) = s u (1, 0)$ 。 $s \to + 0$ とすると、 $u$ の連続性より左辺は $u (0, 0)$ に、右辺は $0$ に収束する。よって $u (0, 0) = 0$ 。

ステップ 3：原点での微分可能性を使う。

$u$ は $C^{1}$ 級なので原点で（全）微分可能であり、ステップ 2 と合わせて
$u (h, k) = ah + bk + ε (h, k) h^{2} + k^{2}, (h, k) \to (0, 0) lim ε (h, k) = 0$
と書ける（ $(h, k) = (0, 0)$ では $ε = 0$ とする）。 $(x, y) \in R^{2}$ と $s > 0$ に対して $(h, k) = (s x, sy)$ とおき、 $(1)$ を使うと
$s u (x, y) = s (a x + b y) + ε (s x, sy) s x^{2} + y^{2} .$
両辺を $s$ で割ると
$u (x, y) - (a x + b y) = ε (s x, sy) x^{2} + y^{2} .$
左辺は $s$ によらない。 $s \to + 0$ とすると $(s x, sy) \to (0, 0)$ なので右辺は $0$ に収束する。よって $u (x, y) = a x + b y$ である。

結論。 すべての $(x, y) \in R^{2}$ について $u (x, y) = u_{x} (0, 0) x + u_{y} (0, 0) y$ が成り立つ。

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