特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）

$a (x, y) u_{x} + b (x, y) u_{y} = c (x, y) u + d (x, y)$ の初期値問題を、特性方程式（常微分方程式）を解いて解ける

前提

移流方程式（定数係数の 1 階線形）（大学院数学偏微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

説明

この技能を使うと、係数が場所によって変わる 1 階線形偏微分方程式 $a (x, y) u_{x} + b (x, y) u_{y} = c (x, y) u + d (x, y)$ に、ある曲線上で値を与えた初期値問題を解けるようになります。方法は、平面上に「特性曲線」と呼ばれる曲線の族を求め、その曲線に沿って偏微分方程式を常微分方程式に書き換えて解く、というものです。移流方程式では特性曲線が平行な直線 $x - c t = 一定$ でしたが、変数係数では一般に曲線になります。流れの速さが場所ごとに違う輸送現象や、変数変換で 1 階の方程式に帰着される問題で使います。

なぜそうしてよいのか

移流方程式 $u_{t} + c u_{x} = 0$ では、直線 $x = x_{0} + c t$ に沿って $u$ が一定でした。これは「左辺 $u_{t} + c u_{x}$ が、ベクトル $(1, c)$ の向きの方向微分になっている」ためです。同じ見方を変数係数に広げます。平面上の曲線 $(x (s), y (s))$ が $\frac{d x}{d s} = a (x, y), \frac{d y}{d s} = b (x, y)$ を満たすとします（これを特性方程式、その解の曲線を特性曲線と呼びます）。この曲線に沿って $U (s) = u (x (s), y (s))$ とおくと、多変数の連鎖律より $\frac{d U}{d s} = u_{x} \frac{d x}{d s} + u_{y} \frac{d y}{d s} = a u_{x} + b u_{y} = c U + d$ となります。つまり、偏微分方程式は特性曲線の上では $U$ についての 1 階線形常微分方程式 $U^{'} - c U = d$ になり、積分因子で解けます。

初期値を与える曲線（初期曲線）上の各点 $r$ から特性曲線を 1 本ずつ出発させ、その上で常微分方程式を初期値 $U (0) = g (r)$ で解けば、特性曲線が通る各点で $u$ の値が決まります。最後に $(s, r)$ を $(x, y)$ で表し直せば $u (x, y)$ が得られます。このとき、初期曲線が特性曲線と接していない（横切っている）ことが必要です。接していると、同じ特性曲線上で初期値と常微分方程式が両立しなかったり、初期曲線から離れた点の値が決まらなかったりします。また、解が決まるのは初期曲線から出た特性曲線が届く範囲だけです。

$a \neq = 0$ の範囲では、 $s$ を消して $\frac{d y}{d x} = \frac{b}{a}$ を解き、特性曲線を $φ (x, y) = 一定$ の形で求めても同じことです。移流方程式の $ξ = x - c t$ は、この $φ$ の特別な場合にあたります。

手順

初期曲線をパラメータ $r$ で $(x, y) = (x_{0} (r), y_{0} (r))$ と表し、初期値を $u = g (r)$ と書く。初期曲線が特性曲線と接していないことを確かめておく。
特性方程式 $\frac{d x}{d s} = a (x, y), \frac{d y}{d s} = b (x, y)$ を、 $x (0) = x_{0} (r), y (0) = y_{0} (r)$ のもとで解き、 $x = x (s, r), y = y (s, r)$ を求める。
特性曲線に沿った常微分方程式 $\frac{d U}{d s} = c U + d$ （ $c, d$ には $x (s, r), y (s, r)$ を代入）を、 $U (0) = g (r)$ のもとで積分因子を使って解く。
$x = x (s, r), y = y (s, r)$ を $s, r$ について解き、 $U$ に代入して $u (x, y)$ を求める。解が成り立つ範囲（特性曲線が届く範囲）も確認する。
求めた $u$ を偏微分方程式と初期条件に代入して、成り立つことを確かめる。

例題

初期値問題 $u_{x} + 2 x u_{y} = u + 1$ （ $(x, y) \in R^{2}$ ）、 $u (0, y) = y^{2}$ の解 $u (x, y)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：初期曲線は $y$ 軸なので $(x, y) = (0, r)$ 、初期値は $g (r) = r^{2}$ とします。この点で特性方向は $(a, b) = (1, 0)$ で、 $y$ 軸の向き $(0, 1)$ と平行でないので、接していません。

手順 2：特性方程式は $\frac{d x}{d s} = 1, \frac{d y}{d s} = 2 x$ 、初期条件は $x (0) = 0, y (0) = r$ です。まず $x = s$ 。これを代入して $\frac{d y}{d s} = 2 s$ より $y = s^{2} + r$ 。特性曲線は放物線 $y - x^{2} = r$ です。

手順 3：特性曲線に沿って $\frac{d U}{d s} = U + 1$ 、 $U (0) = r^{2}$ 。 $U^{'} - U = 1$ に積分因子 $e^{- s}$ を掛けると $(e^{- s} U)^{'} = e^{- s}$ 。積分して $e^{- s} U = - e^{- s} + C$ 。 $s = 0$ とおくと $r^{2} = - 1 + C$ より $C = r^{2} + 1$ 。よって $U = (r^{2} + 1) e^{s} - 1$ 。

手順 4： $x = s, y = s^{2} + r$ を解くと $s = x, r = y - x^{2}$ 。どの点 $(x, y)$ に対してもこの $(s, r)$ はただ 1 つに決まるので、解は平面全体で得られます。代入して $u (x, y) = ((y - x^{2})^{2} + 1) e^{x} - 1.$

手順 5： $ξ = y - x^{2}$ とおくと $ξ_{x} = - 2 x, ξ_{y} = 1$ なので、 $u_{x} = - 4 x ξ e^{x} + (ξ^{2} + 1) e^{x}$ 、 $u_{y} = 2 ξ e^{x}$ です。よって $u_{x} + 2 x u_{y} = (ξ^{2} + 1) e^{x} = u + 1$ が成り立ちます。また $u (0, y) = (y^{2} + 1) - 1 = y^{2}$ です。

答え: $((y - x^{2})^{2} + 1) e^{x} - 1$

よくある誤り

移流方程式と同じ感覚で、係数 $2 x$ を定数のように扱い、特性曲線を $y - 2 x \cdot x = 一定$ つまり $y - 2 x^{2} = 一定$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{d y}{d x} = 2 x$ を積分して $y - x^{2} = 一定$ です。
右辺に $c u + d$ があるのに、 $u$ が特性曲線に沿って一定だと考え、上の例で $u = (y - x^{2})^{2}$ としてしまう誤り。 $u$ が一定になるのは $c = d = 0$ のときだけです。正しくは $\frac{d U}{d s} = U + 1$ を解いて $U = (r^{2} + 1) e^{s} - 1$ とします。
積分因子の符号を間違え、 $U^{'} - c U = d$ に $e^{\int c d s}$ を掛けてしまう誤り。正しくは $e^{- \int c d s}$ を掛けます。すると左辺が $(e^{- \int c d s} U)^{'}$ にまとまります（例では $e^{- s}$ ）。
初期曲線が特性曲線と接していないかを確かめずに解いてしまう誤り。たとえば $u_{x} = 0$ に $u (x, 0) = g (x)$ を与えると、初期曲線 $y = 0$ そのものが特性曲線（水平線）になります。このとき $g$ が定数でなければ解は存在せず、定数であっても $y \neq = 0$ での値は決まりません。正しくは、初期曲線が特性曲線を横切っていることを確かめてから解きます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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