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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

$R^{2}$ 上の $C^{1}$ 級の未知関数 $u = u (x, t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$u_{t} + 2 x u_{x} = t ((x, t) \in R^{2}), u (x, 0) = x^{2} (x \in R)$
の解 $u (x, t)$ を求めよ。

この問題で使うもの

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（説明と入口の問題）
変数分離形（説明と入口の問題）
多変数の連鎖律（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

特性曲線の方法を使う。 $u_{t} + 2 x u_{x}$ が、ある曲線 $x = x (t)$ に沿った $u$ の $t$ による微分になるように曲線を選ぶ。

ヒント 2

特性方程式は $\frac{d x}{d t} = 2 x$ , $\frac{d u}{d t} = t$ 。 $t = 0$ で $x = ξ$ から出発する曲線を考える。

ヒント 3

特性曲線は $x = ξ e^{2 t}$ 、すなわち $ξ = x e^{- 2 t}$ 。その曲線上で $u$ は、初期値 $ξ^{2}$ に $t$ だけで表される式を加えた形になる。

答えと解説

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x^{2} e^{- 4 t} + \frac{t ^{2}}{2}

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解説を読む

方針（特性曲線の方法）. 曲線 $x = x (t)$ に沿って $u$ の値 $U (t) = u (x (t), t)$ を考えると、連鎖律より
$\frac{d U}{d t} = u_{t} + \frac{d x}{d t} u_{x}$
となる。そこで $\frac{d x}{d t} = 2 x$ となる曲線（特性曲線）を選べば、右辺はちょうど方程式の左辺 $u_{t} + 2 x u_{x}$ に一致し、偏微分方程式は常微分方程式 $\frac{d U}{d t} = t$ に帰着する。

手順 1：特性方程式を書く.
$\frac{d x}{d t} = 2 x, \frac{d U}{d t} = t .$

手順 2：特性曲線を求める. $t = 0$ で $x = ξ$ を通る特性曲線を考える。 $\frac{d x}{d t} = 2 x$ は変数分離形で、初期条件 $x (0) = ξ$ のもとで
$x (t) = ξ e^{2 t}$
となる（ $ξ = 0$ のときも $x \equiv 0$ で成り立つ）。逆に解くと $ξ = x e^{- 2 t}$ であり、任意の点 $(x, t)$ を通る特性曲線がただ 1 本ある。

手順 3：特性曲線に沿って $u$ を求める. $\frac{d U}{d t} = t$ を初期条件 $U (0) = u (ξ, 0) = ξ^{2}$ のもとで積分すると
$U (t) = ξ^{2} + \frac{t ^{2}}{2} .$

手順 4：もとの変数に戻す. $ξ = x e^{- 2 t}$ を代入して
$u (x, t) = (x e^{- 2 t})^{2} + \frac{t ^{2}}{2} = x^{2} e^{- 4 t} + \frac{t ^{2}}{2} .$

確認. $u_{t} = - 4 x^{2} e^{- 4 t} + t$ , $u_{x} = 2 x e^{- 4 t}$ より
$u_{t} + 2 x u_{x} = - 4 x^{2} e^{- 4 t} + t + 4 x^{2} e^{- 4 t} = t,$
また $u (x, 0) = x^{2}$ で、初期条件も満たす。

よって $u (x, t) = x^{2} e^{- 4 t} + \frac{t ^{2}}{2}$ である。

別解

特性曲線法で解く。特性方程式は $d x / d t = 2 x$ 、 $d u / d t = t$ である。 $x = x_{0} e^{2 t}$ なので、特性曲線上で $u (x (t), t) = u (x_{0}, 0) + \int_{0}^{t} s d s = x_{0}^{2} + t^{2} /2$ となる。 $x_{0} = x e^{- 2 t}$ を代入して $u (x, t) = x^{2} e^{- 4 t} + t^{2} /2$ を得る。

検算: $u_{t} = - 4 x^{2} e^{- 4 t} + t$ 、 $u_{x} = 2 x e^{- 4 t}$ より $2 x u_{x} = 4 x^{2} e^{- 4 t}$ 。よって $u_{t} + 2 x u_{x} = t$ となり方程式を満たす。 $t = 0$ では $u = x^{2}$ で初期条件も満たす。

一意性: 係数 $(2 x, 1)$ は全域で滑らかで、特性曲線 $x = x_{0} e^{2 t}$ は $t \in R$ で $R^{2}$ を一意に覆う。したがって解はこれだけである。

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