移流方程式（定数係数の 1 階線形）

$u_{t} + c u_{x} = 0$ を、変数を $ξ = x - c t$ に変えて解き、初期値の形が平行移動することがわかる

前提

偏微分方程式の用語と解の確認（大学院数学偏微分方程式）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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偏微分方程式の用語と解の確認（大学院数学偏微分方程式）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

説明

定数 $c$ をもつ 1 階線形偏微分方程式 $u_{t} + c u_{x} = 0$ （移流方程式）を、初期条件 $u (x, 0) = g (x)$ のもとで具体的に解けるようになります。解は $u (x, t) = g (x - c t)$ です。これは「初期の波形 $g$ が形を変えずに速さ $c$ で $x$ 方向へ平行移動する」ことを表します。流れに乗って運ばれる濃度や信号のモデル、特性曲線法の最も基本的な場面で使います。

なぜそうしてよいのか

方程式の左辺 $u_{t} + c u_{x}$ は、点が $x = x_{0} + c t$ と速さ $c$ で動くとき、その点で見た $u$ の変化率です。実際、多変数の連鎖律より $\frac{d}{d t} u (x_{0} + c t, t) = u_{x} \cdot c + u_{t}$ となります。方程式はこれが $0$ 、つまり直線 $x - c t = 一定$ の上で $u$ が一定であることを言っています。この直線を特性線と呼びます。そこで、特性線の「番号」 $ξ = x - c t$ と時刻 $η = t$ を新しい座標にとります。

$u (x, t) = v (ξ, η)$ とおくと、連鎖律により $u_{x} = v_{ξ} \cdot \frac{\partial ξ}{\partial x} + v_{η} \cdot \frac{\partial η}{\partial x} = v_{ξ}$ です。同様に $u_{t} = v_{ξ} \cdot (- c) + v_{η} \cdot 1$ です。よって $u_{t} + c u_{x} = - c v_{ξ} + v_{η} + c v_{ξ} = v_{η}$ となり、方程式は $v_{η} = 0$ に変わります。 $ξ$ を固定すると、 $η$ の 1 変数関数として導関数がいたるところ $0$ です。 $η$ は実数全体を動くので、この関数は定数になります（その値は $ξ$ ごとに違ってよい）。したがって $v = f (ξ)$ 、すなわち $u = f (x - c t)$ と書けます。ここで $f$ は 1 変数の任意の $C^{1}$ 級関数です。

$t = 0$ を代入すると $f (x) = u (x, 0) = g (x)$ なので、 $f = g$ に決まります。よって $u (x, t) = g (x - c t)$ です。時刻 $t$ でのグラフは、 $t = 0$ のグラフを $x$ 方向に $c t$ だけずらしたものです。 $c > 0$ なら右へ、 $c < 0$ なら左へ動きます。逆に、 $g$ が $C^{1}$ 級なら連鎖律より $u_{t} = - c g^{'} (x - c t)$ 、 $u_{x} = g^{'} (x - c t)$ です。したがって $u_{t} + c u_{x} = 0$ が成り立ち、確かに解になっています。

手順

方程式を $u_{t} + c u_{x} = 0$ の形に整理し、定数 $c$ と初期関数 $g (x) = u (x, 0)$ を読み取る（ $c$ の符号に注意）
新しい変数 $ξ = x - c t, η = t$ を導入し、 $u (x, t) = v (ξ, η)$ とおく
連鎖律で $u_{x} = v_{ξ}, u_{t} = - c v_{ξ} + v_{η}$ を求め、方程式が $v_{η} = 0$ になることを確かめる
$v_{η} = 0$ から $v = f (ξ)$ （ $f$ は任意の 1 変数関数）を得て、 $u = f (x - c t)$ と書く
初期条件 $t = 0$ を代入して $f = g$ を決め、 $u (x, t) = g (x - c t)$ とする。最後に代入して方程式と初期条件を満たすか確認する

例題

$(x, t) \in R^{2}$ で定義された $C^{1}$ 級関数 $u$ が $u_{t} - 2 u_{x} = 0$ 、 $u (x, 0) = x^{2} + 1$ を満たすとき、 $u (x, t)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $u_{t} + c u_{x} = 0$ と見比べると $c = - 2$ で、 $g (x) = x^{2} + 1$ である。
手順 2: $ξ = x - c t = x + 2 t$ 、 $η = t$ とおき、 $u (x, t) = v (ξ, η)$ とする。
手順 3: 連鎖律より $u_{x} = v_{ξ}$ 、 $u_{t} = v_{ξ} \cdot 2 + v_{η}$ である。よって $u_{t} - 2 u_{x} = 2 v_{ξ} + v_{η} - 2 v_{ξ} = v_{η} = 0$ となる。
手順 4: $v_{η} = 0$ なので、 $ξ$ ごとに $v$ は $η$ によらない。したがって $v = f (ξ)$ 、すなわち $u = f (x + 2 t)$ である。
手順 5: $t = 0$ とおくと $f (x) = x^{2} + 1$ である。ゆえに $u (x, t) = (x + 2 t)^{2} + 1$ となる。確認すると、 $u_{t} = 4 (x + 2 t)$ 、 $u_{x} = 2 (x + 2 t)$ より $u_{t} - 2 u_{x} = 0$ である。また $u (x, 0) = x^{2} + 1$ も満たす。初期の放物線が速さ 2 で左へ平行移動している。

答え: $(x + 2 t)^{2} + 1$

よくある誤り

平行移動の向きを逆にして $u = g (x + c t)$ としてしまう誤り。正しくは $u = g (x - c t)$ である。例えば $u_{t} + 3 u_{x} = 0$ なら $u = g (x - 3 t)$ で、波形は右へ動く。
連鎖律で $ξ$ を通じた寄与を落とし、 $u_{t} = v_{η}$ としてしまう誤り。正しくは $u_{t} = v_{ξ} \frac{\partial ξ}{\partial t} + v_{η} = - c v_{ξ} + v_{η}$ である。
$v_{η} = 0$ から「 $v$ は定数」としてしまう誤り。正しくは $v$ は $η$ によらないだけである。 $v = f (ξ) = f (x - c t)$ と $ξ$ の任意関数になり、 $f$ は初期条件で決まる。
$u_{t} - 2 u_{x} = 0$ のような負の係数で $c = 2$ と読んでしまう誤り。正しくは $c = - 2$ で $ξ = x + 2 t$ 、解は $g (x + 2 t)$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（大学院数学偏微分方程式）
波動方程式（大学院数学偏微分方程式）