偏微分方程式の問題

方針 新しい変数 $\xi =x-2t,\tau =t$ を導入し、方程式を簡単な形に直す。

変数変換 $u(x,t)=v(\xi ,\tau )$ とおく。$\xi =x-2t,\tau =t$ より
$$\frac{\partial \xi }{\partial x}=1,\frac{\partial \xi }{\partial t}=-2,\frac{\partial \tau }{\partial x}=0,\frac{\partial \tau }{\partial t}=1$$
である。多変数の連鎖律により
$$u_x=v_{\xi }\cdot 1+v_{\tau }\cdot 0=v_{\xi },u_t=v_{\xi }\cdot (-2)+v_{\tau }\cdot 1=-2v_{\xi }+v_{\tau }$$
となる。これを方程式に代入すると
$$u_t+2u_x=(-2v_{\xi }+v_{\tau })+2v_{\xi }=v_{\tau }=0.$$

一般解 $v_{\tau }=0$ は、$v$ が $\tau$ によらず $\xi$ だけの関数であることを意味する（$\xi$ を固定すると $\tau \in \mathbb{R}$ 全体で導関数が $0$ なので定数）。よってある $C^1$ 級の 1 変数関数 $F$ を用いて
$$u(x,t)=F(x-2t)$$
と書ける。

初期条件 $t=0$ とおくと $u(x,0)=F(x)$ なので、初期条件から $F(x)=x^2+1$ である。したがって
$$u(x,t)=(x-2t{)}^2+1.$$

確認 $u_t=2(x-2t)\cdot (-2)=-4(x-2t)$、$u_x=2(x-2t)$ より $u_t+2u_x=-4(x-2t)+4(x-2t)=0$。また $u(x,0)=x^2+1$ で、初期条件も満たす。

解は、初期値のグラフ $y=x^2+1$ がその形を保ったまま、速さ $2$ で $x$ の正の向きに平行移動したものになっている（時刻 $t$ での頂点は $x=2t$）。

答え: $u(x,t)=(x-2t{)}^2+1$

特性曲線法で解く。方程式 $u_t+2u_x=0$ は、直線 $x-2t=\text{const}$ に沿って $u$ が一定であることを意味する。実際、$\frac{d}{dt}u(x_0+2t,t)=u_x\cdot 2+u_t=0$ となる。よって $u(x,t)=f(x-2t)$ と書ける。初期条件 $u(x,0)=f(x)=x^2+1$ より $u(x,t)=(x-2t{)}^2+1$。

検算: $u_t=-4(x-2t)$、$u_x=2(x-2t)$ なので $u_t+2u_x=-4(x-2t)+4(x-2t)=0$。$t=0$ のとき $u=x^2+1$。よって条件を満たす。

一意性: 任意の $C^1$ 解は特性直線上で一定なので、上の解に限られる。