偏微分方程式の問題

手順 1：変数を変える。 $\xi =x-2t,\tau =t$ とおき、$u(x,t)=v(\xi ,\tau )$ と書く。この変換は $x=\xi +2\tau ,t=\tau$ と逆に解けるので、$v$ も $C^1$ 級である。

手順 2：多変数の連鎖律で偏導関数を書き換える。 $\frac{\partial \xi }{\partial x}=1,\frac{\partial \xi }{\partial t}=-2,\frac{\partial \tau }{\partial x}=0,\frac{\partial \tau }{\partial t}=1$ より
$$u_x=v_{\xi }\cdot 1+v_{\tau }\cdot 0=v_{\xi },u_t=v_{\xi }\cdot (-2)+v_{\tau }\cdot 1=-2v_{\xi }+v_{\tau }.$$
よって
$$u_t+2u_x=(-2v_{\xi }+v_{\tau })+2v_{\xi }=v_{\tau }.$$
方程式は $v_{\tau }=0$ となる。

手順 3：解く。 $v_{\tau }=0$ なので、$v$ は $\tau$ によらず $\xi$ だけの関数である：$v(\xi ,\tau )=f(\xi )$（$f$ は $C^1$ 級の 1 変数関数）。したがって
$$u(x,t)=f(x-2t).$$

手順 4：初期条件で $f$ を決める。 $t=0$ とすると $u(x,0)=f(x)=x^2+1$。よって $f(s)=s^2+1$ であり、
$$u(x,t)=(x-2t{)}^2+1.$$

確認： $u_t=2(x-2t)\cdot (-2)=-4(x-2t)$、$u_x=2(x-2t)$ より $u_t+2u_x=-4(x-2t)+4(x-2t)=0$。また $u(x,0)=x^2+1$。

解釈： 時刻 $t$ でのグラフは、初期の放物線 $y=x^2+1$ を形を変えずに $x$ 軸方向へ $2t$ だけ平行移動したものである（速さ $2$ で右へ移流する）。

$\xi =x-2t,\tau =t$ とおき、$u(x,t)=v(\xi ,\tau )$ とする。連鎖律より $u_t=-2v_{\xi }+v_{\tau }$、$u_x=v_{\xi }$ である。したがって $u_t+2u_x=-2v_{\xi }+v_{\tau }+2v_{\xi }=v_{\tau }=0$ となる。これより $v$ は $\xi$ のみの関数で、$v=f(\xi )$ と書ける（$\tau \in \mathbb{R}$ は連結なので全域で成り立つ）。初期条件 $\tau =0$ のとき $\xi =x$ なので $f(x)=x^2+1$ となる。よって $u(x,t)=(x-2t{)}^2+1=x^2-4xt+4t^2+1$。
検算: $u_t=-4(x-2t)$、$u_x=2(x-2t)$ より $u_t+2u_x=0$。また $t=0$ で $u=x^2+1$ となり、条件を満たす。