多変数の連鎖律

${\mathbb{R}}^2$ 上の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題 $$u_t+x{u}_x=0((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$ の $C^1$ 級の解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ を $x\in \mathbb{R}$, $t\ge 0$ で定義された $C^1$ 級の関数とする。1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+t{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
の解 $u(x,t)$ を、特性曲線の方法を用いて $x,t$ の式で求めよ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x$ と $y$ が実数 $t$ の関数として
$$x=t+1,y=t^2$$
で与えられているとする。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ の関数 $z=x^{2}y$ を考える。実数 $t$ について $x=t^2+1,y=t^3$ とおくと、$z$ は $t$ の関数になる。このとき、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x=2t+1,y=t^2$ とする（$t$ は実数）。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

実数 $x$ と実数 $t$ に対して定義された $C^1$ 級の関数 $u(x,t)$ が、偏微分方程式
$$u_t+2u_x=0(x\in \mathbb{R},t\in \mathbb{R})$$
と初期条件
$$u(x,0)=x^2+1(x\in \mathbb{R})$$
を満たすとする。$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

$u=u(x,t)$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級関数で、次の偏微分方程式と初期条件を満たすとする。
$$u_t+2u_x=0(x\in \mathbb{R},t\in \mathbb{R}),u(x,0)=x^2+1(x\in \mathbb{R}).$$
変数変換 $\xi =x-2t,\tau =t$ を用いて、$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

$x$ を実数、$t$ を実数とします。${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級関数 $u(x,t)$ が、次の偏微分方程式と初期条件を満たすとします。
$$u_t+2u_x=0,u(x,0)=x^2+1$$
このとき $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めてください。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+2x{u}_x=t((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
の解 $u(x,t)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+3t^2{u}_x=2tu((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。特性曲線の方法を用いて、解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、$u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ がディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )=8{\sin }^2\theta (0\le \theta <2\pi )$$
を満たすとする。極座標による変数分離を用いて $u$ を求め、点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ における値 $u\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、関数 $u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ がディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )={\sin }^3\theta (0\le \theta <2\pi )$$
を満たすとする。極座標による変数分離を用いて $u$ を求め、点 $(0,1)$ における値 $u(0,1)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、ラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )=8{\sin }^2\theta +4\cos \theta (0\le \theta <2\pi )$$
を考える。ここで $u$ は直交座標 $(x,y)$ の関数 $u(x,y)$ であり、$u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ とする（この条件のもとで解はただ 1 つに定まる）。極座標を用いた変数分離によってこの解 $u$ を求め、直交座標で $(x,y)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$ と表される点における値 $u\left(1,\frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

平面の円環領域 $\Omega =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 1<x^2+y^2<4\}$ において、$u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ がディリクレ問題
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0(\text{in }\Omega ),$$
$$u(x,y)=1(x^2+y^2=1),u(x,y)=1+\frac{3}{2}x(x^2+y^2=4)$$
を満たすとする。このとき $u\left(\frac{3}{4},1\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する半線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+x{u}_x=u^2(x\in \mathbb{R},0<t<1),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
は $\mathbb{R}\times [0,1)$ 上でただ 1 つの $C^1$ 級の解 $u$ をもつ。特性曲線の方法でこの解を求め、$u\left(e,\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底である。

$u$ を ${\mathbb{R}}^2$ 上の実数値 $C^1$ 級関数とし、
$$x{u}_x(x,y)+y{u}_y(x,y)=u(x,y)((x,y)\in {\mathbb{R}}^2)$$
をみたすとする。このとき、$a=u_x(0,0)$, $b=u_y(0,0)$ とおくと、すべての $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ について
$$u(x,y)=ax+by$$
が成り立つことを示せ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\tanh x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上でこの初期値問題の $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T>0$ の上限を $T^{\ast }$ とする。特性曲線の方法を用いて $T^{\ast }$ を求めよ。

$D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ とし、$D$ 上のベクトル場 $\mathbf{F}=(P,Q)$ を
$$P(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2},Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$
で定める。$D$ 上のすべての点で $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ が成り立つが、$D$ 上の $C^1$ 級関数 $\phi$ で $D$ 上 $\nabla \phi =\mathbf{F}$（すなわち $\frac{\partial \phi }{\partial x}=P,\frac{\partial \phi }{\partial y}=Q$）をみたすものは存在しないことを証明せよ。ただし、曲線 $C:\mathbf{r}(t)(a\le t\le b)$ に沿う線積分は ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt$ で定める。

$S$ を ${\mathbb{R}}^3$ 内の向きの付いた区分的に滑らかな曲面とし、$\mathbf{n}$ をその単位法線ベクトルとする。$S$ の境界 $C$ は区分的に滑らかな単純閉曲線で、$\mathbf{n}$ に対して正の向き（右ねじの向き）に向きが付いているとする。すなわち、連続な写像 $\mathbf{r}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$ と分点 $a=t_0<t_1<\cdots <t_N=b$ があって、$\mathbf{r}$ は各 $[t_{k-1},t_k]$ 上で $C^1$ 級、$\mathbf{r}(a)=\mathbf{r}(b)$ であり、$C$ はこの向きで $\mathbf{r}$ によりちょうど 1 周たどられるとする。$W$ を $S$ と $C$ を含む開集合とし、$f_1,g_1,f_2,g_2$ を $W$ 上の $C^2$ 級の実数値関数で、$C$ 上のすべての点で
$$f_1=f_2,g_1=g_2$$
をみたすものとする（$C$ の外では一致しなくてよい）。このとき
$${\iint }_S(\nabla f_1\times \nabla g_1)\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_S(\nabla f_2\times \nabla g_2)\cdot \mathbf{n}dS$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$W$ 上の $C^1$ 級ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対するストークスの定理
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\sum _{k=1}^N{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
（区間の端点での ${\mathbf{r}}^{\prime }$ は片側微分係数とする）、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）こと、および合成関数の微分法（連鎖律）は用いてよい。回転は直交座標 $(x,y,z)$ で $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ に対し $\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$ で定める。

$k>0$ を定数とし、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数 $\Phi$ を
$$\Phi (x)=\frac{e^{-k|x|}}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
で定める。ここで $|x|$ はユークリッドノルム、$\Delta ={\sum }_{i=1}^3{\partial }^2/\partial x_i^2$ はラプラシアンである。$\Phi$ が作用素 $-\Delta +k^2$ の基本解であること、すなわち、${\mathbb{R}}^3$ 上の台がコンパクトな任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して、積分 ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx$ が（ルベーグ積分として）絶対収束し、
$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx=\phi (0)$$
が成り立つことを示せ。ただし、有界な領域で成り立つグリーンの第 2 公式（ガウスの発散定理）と、ルベーグの優収束定理は用いてよい。

$\mathbf{r}=(x,y,z)$, $r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とし、実数 $k$ は $k>-3$ をみたすとする。${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上のベクトル場 $\mathbf{F}$ を
$$\mathbf{F}(\mathbf{r})=r^k\mathbf{r}$$
で定める。$V$ を ${\mathbb{R}}^3$ の有界な開集合で原点 $0$ を含むものとし、その境界 $S=\partial V$ は互いに交わらない有限個の区分的に滑らかな閉曲面からなるとする。$\mathbf{n}$ は $S$ 上の外向き（$V$ の外へ向かう）単位法線ベクトルとする。また、$\epsilon >0$ に対して $\overline{B_{\epsilon }}=\{\mathbf{r}:r\le \epsilon \}$ とおく。このとき、極限
$${\iiint }_V{r}^{k}dV:=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\iiint }_{V\setminus \overline{B_{\epsilon }}}{r}^{k}dV$$
が存在して
$${\iint }_S{r}^k(\mathbf{r}\cdot \mathbf{n})dS=(k+3){\iiint }_V{r}^{k}dV$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、次の形のガウスの発散定理は用いてよい: 有界な開集合 $\Omega$ の境界が互いに交わらない有限個の区分的に滑らかな閉曲面からなり、$\mathbf{G}$ が $\overline{\Omega }$ を含む開集合上の $C^1$ 級ベクトル場ならば、$\partial \Omega$ 上の外向き（$\Omega$ の外へ向かう）単位法線ベクトル $\mathbf{\nu }$ について ${\iiint }_{\Omega }\nabla \cdot \mathbf{G}dV={\iint }_{\partial \Omega }\mathbf{G}\cdot \mathbf{\nu }dS$ が成り立つ。半径 $\epsilon$ の球面の面積が $4\pi {\epsilon }^2$ であることも用いてよい。