局所誤差の次数

微分方程式から $y^{''} = f_{t} + f_{y} f$ などを求めて厳密解 $y (h)$ をテイラー展開し、1 ステップの近似値の展開と比べて、局所誤差 $y (h) - y_{1} = C h^{p} + O (h^{p + 1})$ の $p$ と $C$ を求められる

前提

ルンゲ・クッタ法の 1 ステップ（大学数学数値解析）
テイラー展開（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

説明

数値解法の 1 ステップでどれだけ誤差が出るかを、刻み幅 $h$ のべきで評価する技能です。厳密解 $y (t_{0} + h)$ と 1 ステップの近似値 $y_{1}$ を、どちらも $h$ のべき級数に展開して比べます。差の最低次の項 $C h^{p}$ を求めれば、誤差の大きさが $h$ を半分にしたときに約 $(1/2)^{p}$ 倍になることがわかります。オイラー法・ホイン法・ルンゲ・クッタ法などの精度の比較や、新しい解法の精度の確認に使います。

なぜそうしてよいのか

微分方程式 $y^{'} = f (t, y)$ , $y (t_{0}) = y_{0}$ の解 $y (t)$ は、 $t_{0}$ のまわりで $y (t_{0} + h) = y_{0} + y^{'} (t_{0}) h + \frac{y ^{''} ( t _{0} )}{2} h^{2} + \frac{y ^{'''} ( t _{0} )}{6} h^{3} + O (h^{4})$ とテイラー展開できます。ここで $O (h^{k})$ は「 $h \to 0$ のとき、ある定数と $∣ h ∣^{k}$ の積で絶対値をおさえられる量」を表します。展開の係数は微分方程式そのものから求められます。 $y^{'} = f (t, y (t))$ を $t$ で微分するとき、 $y$ も $t$ の関数なので多変数の連鎖律を使います。すると $y^{''} = f_{t} + f_{y} y^{'} = f_{t} + f_{y} f$ となり、さらに微分すると $y^{'''} = f_{tt} + 2 f_{t y} f + f_{y y} f^{2} + f_{y} (f_{t} + f_{y} f)$ が得られます。つまり、 $y (t)$ を知らなくても、 $(t_{0}, y_{0})$ での $f$ の偏導関数だけで展開係数が決まります。

一方、近似値 $y_{1}$ も $h$ の式です。たとえばオイラー法なら $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ です。ホイン法のように $f (t_{0} + h, y_{0} + h k_{1})$ を含む場合は、 $g (s) = f (t_{0} + s h, y_{0} + s h k_{1})$ とおいて連鎖律で $g$ を微分し、1 変数のテイラー展開を使えば $h$ のべきに展開できます。 $f$ が簡単な式なら、直接代入して展開すれば十分です。

出発値を厳密値 $y_{0} = y (t_{0})$ にそろえたときの差 $y (t_{0} + h) - y_{1}$ を局所誤差といいます。両方の展開を引き算すると、低い次数の項は打ち消し合います。最初に残る項 $C h^{p}$ （ $C \neq = 0$ ）が局所誤差の主要部です。たとえばオイラー法では $h^{1}$ の項までが一致し、 $y (t_{0} + h) - y_{1} = \frac{y ^{''} ( t _{0} )}{2} h^{2} + O (h^{3})$ となります。局所誤差が $O (h^{p})$ の解法は、 $p - 1$ 次の解法と呼ばれます。1 ステップの誤差が $h^{p}$ 程度でも、区間を進むには約 $1/ h$ ステップを重ねるので、誤差は全体で $h^{p - 1}$ 程度になるためです。

手順

$f (t, y)$ の偏導関数 $f_{t}, f_{y}$ （必要なら 2 階まで）を計算し、連鎖律で $y^{'} = f$ 、 $y^{''} = f_{t} + f_{y} f$ 、 $y^{'''} = \frac{d}{d t} (f_{t} + f_{y} f)$ を求めて、 $(t_{0}, y_{0})$ での値を出す
厳密解を展開する: $y (t_{0} + h) = y_{0} + y^{'} h + \frac{y ^{''}}{2} h^{2} + \frac{y ^{'''}}{6} h^{3} + O (h^{4})$ （比べたい次数より 1 つ上まで書く）
解法の式に従って $y_{1}$ を $h$ の式で表し、同じ次数まで $h$ のべきに展開する（ $f (t_{0} + ah, y_{0} + bh)$ は直接展開するか、連鎖律によるテイラー展開を使う）
差 $y (t_{0} + h) - y_{1}$ を計算し、係数が 0 でない最低次の項 $C h^{p}$ を読み取って $p$ と $C$ を答える

例題

微分方程式 $y^{'} = y^{2}$ , $y (0) = 1$ に、刻み幅 $h$ でホイン法を 1 ステップ適用する。ホイン法は $k_{1} = f (t_{0}, y_{0})$ , $k_{2} = f (t_{0} + h, y_{0} + h k_{1})$ , $y_{1} = y_{0} + \frac{h}{2} (k_{1} + k_{2})$ で、ここでは $f (t, y) = y^{2}$ , $t_{0} = 0$ , $y_{0} = 1$ である。局所誤差が $y (h) - y_{1} = C h^{p} + O (h^{p + 1})$ （ $C \neq = 0$ ）と表されるとき、組 $(p, C)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（導関数の値）: $f = y^{2}$ なので $f_{t} = 0$ , $f_{y} = 2 y$ である。 $y^{'} = y^{2}$ だから、 $t = 0$ で $y^{'} = 1$ となる。 $y^{''} = f_{t} + f_{y} f = 0 + 2 y \cdot y^{2} = 2 y^{3}$ だから、 $t = 0$ で $y^{''} = 2$ となる。 $y^{'''} = \frac{d}{d t} (2 y^{3}) = 6 y^{2} y^{'} = 6 y^{4}$ だから、 $t = 0$ で $y^{'''} = 6$ となる。

手順 2（厳密解の展開）: $y (h) = 1 + 1 \cdot h + \frac{2}{2} h^{2} + \frac{6}{6} h^{3} + O (h^{4}) = 1 + h + h^{2} + h^{3} + O (h^{4})$ である。確認として、厳密解は $y = \frac{1}{1 - t}$ で、その展開 $1 + h + h^{2} + h^{3} + \dots$ と一致する。

手順 3（近似値の展開）: $k_{1} = f (0, 1) = 1$ である。 $k_{2} = f (h, 1 + h) = (1 + h)^{2} = 1 + 2 h + h^{2}$ である。よって $y_{1} = 1 + \frac{h}{2} (2 + 2 h + h^{2}) = 1 + h + h^{2} + \frac{1}{2} h^{3}$ となる。これは $h$ の多項式なので、展開による誤差はない。

手順 4（差をとる）: $y (h) - y_{1} = (1 + h + h^{2} + h^{3}) - (1 + h + h^{2} + \frac{1}{2} h^{3}) + O (h^{4}) = \frac{1}{2} h^{3} + O (h^{4})$ である。 $h^{2}$ の項までは一致し、 $h^{3}$ の係数 $\frac{1}{2}$ は 0 でない。したがって $p = 3$ , $C = \frac{1}{2}$ である。

答え: $(3, \frac{1}{2})$

よくある誤り

$y^{''}$ を $f_{t}$ だけとしてしまう誤り。 $y$ も $t$ の関数なので、連鎖律で $f_{y} y^{'}$ の項が加わる。正しくは $y^{''} = f_{t} + f_{y} f$ で、たとえば $y^{'} = y^{2}$ では $y^{''} = 0$ ではなく $y^{''} = 2 y \cdot y^{'} = 2 y^{3}$ となる。
展開を途中の次数で打ち切ってしまう誤り。 $y (h) = 1 + h + h^{2} + O (h^{3})$ で止めると、ホイン法との差が $0 + O (h^{3})$ となり、 $C$ が決まらない。正しくは、0 でない係数が現れる次数まで、 $y (h)$ と $y_{1}$ の両方を同じ次数まで展開する（例題では $h^{3}$ まで）。
局所誤差の次数と解法の次数を同じとしてしまう誤り。オイラー法の局所誤差は $\frac{y ^{''} ( t _{0} )}{2} h^{2} + O (h^{3})$ で、 $p = 2$ である。しかし解法としては 1 次法であり、局所誤差が $O (h^{p})$ なら解法は $p - 1$ 次となる。
差の向きを逆にしてしまう誤り。例題で $y_{1} - y (h)$ を計算すると $C = - \frac{1}{2}$ になる。正しくは定義どおり $y (h) - y_{1}$ をとり、 $C = \frac{1}{2}$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

局所誤差の次数

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なぜそうしてよいのか

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よくある誤り

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