数値解析の問題

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=t+y^2,y(0)=1$$
を考え、その解を $y(t)$ とする（$t=0$ の近くで何回でも微分できるものとする）。$f(t,y)=t+y^2$ とおき、刻み幅 $h>0$ のオイラー法
$$y_1=y_0+hf(t_0,y_0),t_0=0,y_0=1$$
で $t=h$ における近似値 $y_1$ を求める。このとき、1 ステップの局所誤差が
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0)$$
と表されるような正の整数 $p$ と実数の定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形でこの順に求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=2t-y,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=2t-y$ とおく。刻み幅を $h>0$ とし、オイラー法で $t_0=0$ から 1 ステップだけ進めた近似値を
$$y_1=y_0+hf(t_0,y_0)(t_0=0,y_0=1)$$
とする。厳密解 $y(t)$ の $t=h$ での値 $y(h)$ との差（局所誤差）が
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})$$
（$p$ は正の整数、$C$ は $0$ でない定数）と表されるとき、$p$ と $C$ をこの順に組 $(p,C)$ で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=ty+1,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=ty+1$ とおく。$t_0=0$, $y_0=1$、刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、ホイン法（改良オイラー法）
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f(t_0+h,y_0+h{k}_1),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)\end{array}$$
を 1 ステップ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で求めよ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=y^2,y(0)=1$$
の厳密解 $y(t)$ を考える（$0\leqq t<1$）。刻み幅 $h$（$0<h<1$）として、ホイン法（改良オイラー法）
$$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f(t_0+h,y_0+h{k}_1),y_1=y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)$$
を $t_0=0$, $y_0=1$, $f(t,y)=y^2$ として 1 ステップだけ適用し、$y(h)$ の近似値 $y_1$ を得る。

局所誤差 $y(h)-y_1$ を $h\to 0$ で展開したとき
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0,p\text{は正の整数})$$
となる。組 $(p,C)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=ty,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=ty$ とおく。$t_0=0$, $y_0=1$, 刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),\\ k_3& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_2\right),\\ k_4& =f\left(t_0+h,y_0+h{k}_3\right),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)\end{array}$$
を 1 ステップ適用したときの近似値 $y_1$ を、既約分数で求めよ。