数値解析の問題

初期値問題 $$\frac{dy}{dt}=1+y^2,y(0)=0$$ の厳密解を $y(t)$（$|t|<\frac{\pi }{2}$）とする。$f(t,y)=1+y^2$ とおき、刻み幅 $h$（$0<h<\frac{\pi }{2}$）として、中点法（2 段の陽的ルンゲ・クッタ法） $$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),y_1=y_0+h{k}_2$$ を $t_0=0$, $y_0=0$ から 1 ステップだけ適用して近似値 $y_1$ を得る。$h\to +0$ のとき、ある正の整数 $p$ と $0$ でない実数の定数 $C$ を用いて $$y_1-y(h)=C{h}^p+O\left(h^{p+1}\right)$$ と表される。$p$ と $C$ の組 $(p,C)$ を求めよ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=2ty,y(1)=1$$
の厳密解を $y(t)$ とする。$f(t,y)=2ty$ とおき、刻み幅 $h>0$ として、次の 2 段の陽的ルンゲ・クッタ法で $t=1$ から $t=1+h$ まで 1 ステップ進める。
$$k_1=f(1,y(1)),k_2=f\left(1+\frac{2}{3}h,y(1)+\frac{2}{3}h{k}_1\right),y_1=y(1)+h\left(\frac{1}{4}{k}_1+\frac{3}{4}{k}_2\right)$$
このとき、局所誤差は $h\to 0$ で
$$y(1+h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})$$
の形に表される。ここで $p$ は正の整数、$C$ は $0$ でない実数の定数である。$p$ と $C$ をこの順に組 $(p,C)$ で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=ty+1,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=ty+1$ とおく。$t_0=0$, $y_0=1$、刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、ホイン法（改良オイラー法）
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f(t_0+h,y_0+h{k}_1),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)\end{array}$$
を 1 ステップ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=t+y^2,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=t+y^2$ とおく。この初期値問題の厳密解 $y(t)$ は $t=0$ の近くで存在し、何回でも微分可能であるとする。刻み幅を $h>0$ として、オイラー法
$$y_1=y_0+hf(t_0,y_0),t_0=0,y_0=1$$
で 1 ステップ進めた近似値を $y_1$ とする。局所誤差が
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0)$$
と表されるとき、正の整数 $p$ と実数の定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題 $$\frac{dy}{dt}=y-t^2,y(0)=1$$ を考え、$f(t,y)=y-t^2$ とおく。刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、中点法（2 次のルンゲ・クッタ法の一つ） $$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),y_1=y_0+h{k}_2$$ を $t_0=0$, $y_0=1$ から 1 ステップだけ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で厳密に求めよ。