オイラー法

初期値問題 $y^{'} = f (t, y)$ , $y (t_{0}) = y_{0}$ に $y_{k + 1} = y_{k} + h f (t_{k}, y_{k})$ を適用して、指定したステップ数後の近似値を求め、厳密解と比べられる

前提

変数分離形（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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変数分離形（大学数学微分方程式）

説明

オイラー法を使うと、式で解けない微分方程式でも、初期値問題 $y^{'} = f (t, y)$ , $y (t_{0}) = y_{0}$ の解の値を四則演算だけで近似できます。刻み幅 $h$ を決め、 $t_{k} = t_{0} + k h$ での値 $y_{k}$ を漸化式 $y_{k + 1} = y_{k} + h f (t_{k}, y_{k})$ で順に計算します。変数分離形などで厳密解がわかる問題では、近似値と厳密解を比べて誤差の大きさを確かめられます。

なぜそうしてよいのか

導関数の定義から、 $h$ が小さいとき $\frac{y ( t + h ) - y ( t )}{h}$ は $y^{'} (t)$ に近くなります。そこで両辺に $h$ を掛けて、 $y (t + h) \approx y (t) + h y^{'} (t)$ と考えます。これは点 $(t, y (t))$ での接線に沿って $h$ だけ進む、ということです。微分方程式が $y^{'} (t) = f (t, y (t))$ と傾きを教えてくれるので、 $y (t + h) \approx y (t) + h f (t, y (t))$ となります。

ただし 2 歩目以降は本当の値 $y (t_{k})$ がわからないので、その代わりに 1 つ前で求めた近似値 $y_{k}$ を使います。こうして $y_{k + 1} = y_{k} + h f (t_{k}, y_{k})$ （ $t_{k + 1} = t_{k} + h$ ）という漸化式が得られます。各ステップでは「区間の左端の傾き」で直線的に進むだけなので、曲がっている解からは少しずつずれていき、そのずれが積み重なります。

$f$ が十分なめらかなら、決まった時刻 $T$ までに出る誤差はおおよそ $h$ に比例します。 $h$ を半分にすると誤差もほぼ半分になりますが、そのぶんステップ数は 2 倍に増えます。

手順

$f (t, y)$ 、初期値 $(t_{0}, y_{0})$ 、刻み幅 $h$ を確認し、ステップ数 $N = \frac{T - t _{0}}{h}$ を決める（ $T$ は近似したい時刻）
現在の点 $(t_{k}, y_{k})$ での傾き $f (t_{k}, y_{k})$ を計算する
$y_{k + 1} = y_{k} + h f (t_{k}, y_{k})$ と $t_{k + 1} = t_{k} + h$ で 1 ステップ進める
手順 2・3 を $k = 0, 1, \dots, N - 1$ と $N$ 回くり返し、 $y_{N}$ を $y (T)$ の近似値とする
厳密解がわかるときは $y (T)$ を求め、誤差 $y (T) - y_{N}$ を調べる

例題

初期値問題 $y^{'} = 2 t y$ , $y (0) = 1$ に、刻み幅 $h = 0.1$ のオイラー法を 3 ステップ適用する。 $y (0.3)$ の近似値 $y_{3}$ を、丸めずに厳密に求めよ。

例題の解答

手順 1: $f (t, y) = 2 t y$ 、 $t_{0} = 0$ 、 $y_{0} = 1$ 、 $h = 0.1$ である。 $N = \frac{0.3 - 0}{0.1} = 3$ なので 3 ステップ進む。

手順 2・3（ $k = 0$ ）: 傾きは $f (0, 1) = 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ 。よって $y_{1} = 1 + 0.1 \cdot 0 = 1$ 、 $t_{1} = 0.1$ 。

手順 2・3（ $k = 1$ ）: 傾きは $f (0.1, 1) = 2 \cdot 0.1 \cdot 1 = 0.2$ 。よって $y_{2} = 1 + 0.1 \cdot 0.2 = 1.02$ 、 $t_{2} = 0.2$ 。

手順 2・3（ $k = 2$ ）: 傾きは $f (0.2, 1.02) = 2 \cdot 0.2 \cdot 1.02 = 0.408$ 。よって $y_{3} = 1.02 + 0.1 \cdot 0.408 = 1.0608$ 、 $t_{3} = 0.3$ 。

手順 4: $y (0.3) \approx y_{3} = 1.0608 (= \frac{663}{625})$ 。

手順 5（比較）: 方程式は変数分離形である。 $y = 0$ は初期条件を満たさないので $y \neq = 0$ の範囲で考えると、 $\frac{d y}{y} = 2 t d t$ より $lo g ∣ y ∣ = t^{2} + C$ となる。 $y (0) = 1$ を使うと、厳密解は $y = e^{t^{2}}$ である。したがって $y (0.3) = e^{0.09} \approx 1.0942$ で、誤差はおよそ $0.033$ になる。この解は増加しながら下に凸に曲がっているので、左端の傾きで進むオイラー法の値は真の値より小さくなる。

答え: $1.0608$

よくある誤り

傾きを区間の右端 $t_{k + 1}$ で計算してしまう誤り。例題の 1 歩目を $f (0.1, 1) = 0.2$ として $y_{1} = 1.02$ とするのは誤り。正しくは左端を使い、 $y_{1} = 1 + 0.1 \cdot f (0, 1) = 1$ 。
傾きに $h$ を掛け忘れて $y_{k + 1} = y_{k} + f (t_{k}, y_{k})$ としてしまう誤り。正しくは $y_{k + 1} = y_{k} + h f (t_{k}, y_{k})$ で、例題の 3 歩目は $1.02 + 0.408$ ではなく $1.02 + 0.1 \cdot 0.408 = 1.0608$ 。
2 歩目以降の傾きに、近似値 $y_{k}$ ではなく厳密解の値や初期値 $y_{0}$ を入れてしまう誤り。例題の 3 歩目で $f (0.2, 1) = 0.4$ とするのは誤り。正しくは直前の近似値を使って $f (0.2, y_{2}) = f (0.2, 1.02) = 0.408$ 。
ステップ数を数え違える誤り。 $y_{k}$ は $t_{k} = t_{0} + k h$ での近似値なので、 $y (0.3)$ の近似は $N = \frac{0.3}{0.1} = 3$ 回進めた $y_{3}$ である。 $y_{2}$ （ $t = 0.2$ での値）を答えにしたり、4 回進めたりしないこと。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

ルンゲ・クッタ法の 1 ステップ（大学数学数値解析）