ルンゲ・クッタ法の 1 ステップ

ホイン法（改良オイラー法）や古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法の $k_{1}, \dots, k_{4}$ を順に計算し、1 ステップ後の近似値 $y_{1}$ を分数で求められる

前提

オイラー法（大学数学数値解析）

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算数中学高校大学大学院

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オイラー法（大学数学数値解析）

説明

ルンゲ・クッタ法を使うと、初期値問題 $y^{'} = f (t, y)$ , $y (t_{0}) = y_{0}$ の 1 ステップ後の近似値 $y_{1} \approx y (t_{0} + h)$ を、オイラー法より高い精度で求められます。区間の途中のいくつかの点で傾き $f$ を計算し、それらの重み付き平均を使って進むのが特徴です。代表的なものは、傾きを 2 回使うホイン法（改良オイラー法）と、4 回使う古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法（RK4）です。厳密解が求めにくい微分方程式を数値的に解く場面で、最もよく使われる方法の一つです。

なぜそうしてよいのか

厳密解 $y (t)$ は $y^{'} (t) = f (t, y (t))$ を満たすので、両辺を $t_{0}$ から $t_{0} + h$ まで積分すると $y (t_{0} + h) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t_{0} + h} f (t, y (t)) d t$ となります。オイラー法はこの積分を「左端の傾き $\times h$ 」、つまり $h f (t_{0}, y_{0})$ で置き換えたものでした。区間の途中で傾きが変わるとずれが生じ、それが誤差になります。そこで、積分をもっと正確な近似に取り替えるのがルンゲ・クッタ法の考え方です。

ホイン法は、積分を台形の面積 $\frac{h}{2} {f (左端) + f (右端)}$ で近似します。ただし右端の値 $y (t_{0} + h)$ はまだわからないので、まずオイラー法で $y_{0} + h k_{1}$ （ $k_{1} = f (t_{0}, y_{0})$ ）と予測し、そこでの傾き $k_{2} = f (t_{0} + h, y_{0} + h k_{1})$ を使います。左端と右端の傾きの平均で進むので、傾きの変化が打ち消し合い、オイラー法より誤差が小さくなります。

RK4 は、2 次式 $g$ に対して正確に成り立つ式 $\int_{0}^{h} g (s) d s = \frac{h}{6} {g (0) + 4 g (\frac{h}{2}) + g (h)}$ をもとにしています。実際に $g = 1, s, s^{2}$ を代入すると、両辺はそれぞれ $h, \frac{h ^{2}}{2}, \frac{h ^{3}}{3}$ で一致します（3 次式 $s^{3}$ でも一致します）。重み 4 の中点の傾きは、2 通りの推定 $k_{2}$ （ $k_{1}$ で中点まで進んだ点）と $k_{3}$ （ $k_{2}$ で中点まで進み直した点）に 2 ずつ分けて使います。右端の傾き $k_{4}$ は、 $k_{3}$ で右端まで進んだ点で求めます。こうして $y_{1} = y_{0} + \frac{h}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})$ が得られます。 $f$ が $t$ だけの関数なら、これは上の積分公式そのものになります。全体の誤差は、オイラー法が $h$ に比例するのに対し、ホイン法は $h^{2}$ 、RK4 は $h^{4}$ に比例する程度まで小さくなります。

手順

$f (t, y)$ 、 $t_{0}$ 、 $y_{0}$ 、刻み幅 $h$ を確認する。
$k_{1} = f (t_{0}, y_{0})$ を計算する（オイラー法と同じ左端の傾き）。
ホイン法なら $k_{2} = f (t_{0} + h, y_{0} + h k_{1})$ を求め、 $y_{1} = y_{0} + \frac{h}{2} (k_{1} + k_{2})$ とする。ここで終わり。
RK4 なら中点での傾きを 2 回求める。 $k_{2} = f (t_{0} + \frac{h}{2}, y_{0} + \frac{h}{2} k_{1})$ 、続けて $k_{3} = f (t_{0} + \frac{h}{2}, y_{0} + \frac{h}{2} k_{2})$ とする。
RK4 の右端の傾き $k_{4} = f (t_{0} + h, y_{0} + h k_{3})$ を求める。
$y_{1} = y_{0} + \frac{h}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})$ を分数のまま計算する。

例題

初期値問題 $y^{'} = t + y$ , $y (0) = 1$ に、刻み幅 $h = \frac{1}{2}$ で古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法を 1 ステップ適用したときの近似値 $y_{1}$ （ $y (\frac{1}{2})$ の近似値）を分数で求めよ。

例題の解答

手順1: $f (t, y) = t + y$ 、 $t_{0} = 0$ 、 $y_{0} = 1$ 、 $h = \frac{1}{2}$ である。中点は $t_{0} + \frac{h}{2} = \frac{1}{4}$ 、右端は $t_{0} + h = \frac{1}{2}$ になる。
手順2: $k_{1} = f (0, 1) = 0 + 1 = 1$ 。
手順4: $k_{2} = f (\frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4} \cdot 1) = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{2}$ 。続けて $k_{3} = f (\frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{11}{8} = \frac{13}{8}$ 。
手順5: $k_{4} = f (\frac{1}{2}, 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{8}) = \frac{1}{2} + \frac{29}{16} = \frac{37}{16}$ 。
手順6: $k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4} = 1 + 3 + \frac{13}{4} + \frac{37}{16} = \frac{16 + 48 + 52 + 37}{16} = \frac{153}{16}$ 。したがって $y_{1} = 1 + \frac{1/2}{6} \cdot \frac{153}{16} = 1 + \frac{153}{192} = 1 + \frac{51}{64} = \frac{115}{64}$ となる。
（確認: 厳密解は $y = 2 e^{t} - t - 1$ で、 $y (\frac{1}{2}) = 2 e - \frac{3}{2} \approx 1.79744$ である。一方 $\frac{115}{64} = 1.796875$ で、よく一致している。）

答え: $\frac{115}{64}$

よくある誤り

$k_{2}$ の $y$ 座標を $y_{0} + k_{1}$ や $y_{0} + h k_{1}$ としてしまう誤り。RK4 では中点まで進むので、正しくは $y_{0} + \frac{h}{2} k_{1}$ （上の例では $1 + \frac{1}{4} \cdot 1$ ）。
$k_{2}, k_{3}$ の $t$ を $t_{0}$ のままにしたり、 $k_{4}$ の $t$ を $t_{0} + \frac{h}{2}$ にしたりする誤り。 $f$ が $t$ を含むときは値が変わる。正しくは $k_{2}, k_{3}$ で $t_{0} + \frac{h}{2}$ 、 $k_{4}$ で $t_{0} + h$ 。
$k_{3}$ や $k_{4}$ を計算するとき、直前の $k$ ではなく $k_{1}$ を使ってしまう誤り。正しくは $k_{3} = f (t_{0} + \frac{h}{2}, y_{0} + \frac{h}{2} k_{2})$ 、 $k_{4} = f (t_{0} + h, y_{0} + h k_{3})$ 。
重みを間違える誤り。たとえば $y_{1} = y_{0} + \frac{h}{4} (k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4})$ とする、または $\frac{h}{6}$ の $h$ を落として $y_{0} + \frac{1}{6} (\dots)$ とするもの。正しくは $y_{1} = y_{0} + \frac{h}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})$ 。ホイン法でも同様に、正しくは $y_{1} = y_{0} + \frac{h}{2} (k_{1} + k_{2})$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

局所誤差の次数（大学数学数値解析）