数値解析の問題

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=2ty,y(1)=1$$
の厳密解を $y(t)$ とする。$f(t,y)=2ty$ とおき、刻み幅 $h>0$ として、次の 2 段の陽的ルンゲ・クッタ法で $t=1$ から $t=1+h$ まで 1 ステップ進める。
$$k_1=f(1,y(1)),k_2=f\left(1+\frac{2}{3}h,y(1)+\frac{2}{3}h{k}_1\right),y_1=y(1)+h\left(\frac{1}{4}{k}_1+\frac{3}{4}{k}_2\right)$$
このとき、局所誤差は $h\to 0$ で
$$y(1+h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})$$
の形に表される。ここで $p$ は正の整数、$C$ は $0$ でない実数の定数である。$p$ と $C$ をこの順に組 $(p,C)$ で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題 $$\frac{dy}{dt}=y-t^2,y(0)=1$$ を考え、$f(t,y)=y-t^2$ とおく。刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、中点法（2 次のルンゲ・クッタ法の一つ） $$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),y_1=y_0+h{k}_2$$ を $t_0=0$, $y_0=1$ から 1 ステップだけ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で厳密に求めよ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=y^2,y(0)=1$$
の厳密解 $y(t)$ を考える（$0\leqq t<1$）。刻み幅 $h$（$0<h<1$）として、ホイン法（改良オイラー法）
$$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f(t_0+h,y_0+h{k}_1),y_1=y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)$$
を $t_0=0$, $y_0=1$, $f(t,y)=y^2$ として 1 ステップだけ適用し、$y(h)$ の近似値 $y_1$ を得る。

局所誤差 $y(h)-y_1$ を $h\to 0$ で展開したとき
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0,p\text{は正の整数})$$
となる。組 $(p,C)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=y+t^2,y(0)=-1$$
を考え、$f(t,y)=y+t^2$ とおく。$0<c\leqq 1$ を満たす実数の定数 $c$ をパラメータにもつ 2 段の陽的ルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f(t_0+ch,y_0+ch{k}_1),\\ y_1& =y_0+h\left\{\left(1-\frac{1}{2c}\right)k_1+\frac{1}{2c}{k}_2\right\}\end{array}$$
で、$t_0=0$, $y_0=-1$ から刻み幅 $h>0$ の 1 ステップを進める。厳密解の値 $y(h)$ との差（局所誤差）$y(h)-y_1$ を $h$ の式とみる。

一般にこの方法の局所誤差は $O(h^3)$ であるが、この初期値問題のこの 1 ステップに限っては、ある $c$ の値で局所誤差が $O(h^4)$ となる。そのような $c$ の値を $c^{\ast }$ とし、$c=c^{\ast }$ のときの局所誤差を
$$y(h)-y_1=C{h}^4+O(h^5)(h\to 0)$$
と表す。$c^{\ast }$ と定数 $C$ をこの順に組 $(c^{\ast },C)$ で求めよ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=t+y,y(0)=1$$
に対し、刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),\\ k_3& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_2\right),\\ k_4& =f\left(t_0+h,y_0+h{k}_3\right),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)\end{array}$$
を 1 ステップだけ適用する。ここで $f(t,y)=t+y$、$t_0=0$、$y_0=1$ である。$y(1/2)$ の近似値 $y_1$ を分数で求めよ。