変数分離形

${\mathbb{R}}^2$ 上の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題 $$u_t+x{u}_x=0((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$ の $C^1$ 級の解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ を $x\in \mathbb{R}$, $t\ge 0$ で定義された $C^1$ 級の関数とする。1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+t{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
の解 $u(x,t)$ を、特性曲線の方法を用いて $x,t$ の式で求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=(2x+1)y$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ は、すべての実数 $x$ で $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=y\cos x$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、すべての実数 $x$ で $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$y^{\prime }=\frac{x}{y}$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+2x{u}_x=t((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
の解 $u(x,t)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+3t^2{u}_x=2tu((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。特性曲線の方法を用いて、解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t\ge 0$ に対して定義された関数 $u(x,t)$ についての熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は各 $t\ge 0$ で $x$ について急減少する（フーリエ変換が使える）滑らかな解とする。フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定め、フーリエ変換を用いて解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t>0$ に対して、関数 $u(x,t)$ は熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
の有界な解とする。フーリエ変換を用いて、$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

ただし、フーリエ変換とその逆変換は次で定める。
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$$
また、$a>0$ に対して ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}{e}^{-ix\xi }dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-{\xi }^2/(4a)}$ が成り立つことは用いてよい。

$x\in \mathbb{R}$, $t>0$ における熱方程式の初期値問題
$$u_t=u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は $\mathbb{R}\times [0,\infty )$ で連続かつ有界な古典解とする。フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$、逆変換を $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ と定める。フーリエ変換を用いて解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

区間 $-1<x<1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }=\frac{1+y^2}{1+x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

ある純物質の液体の飽和蒸気圧を測定したところ、温度 $300\mathrm{K}$ で $P_1$、温度 $320\mathrm{K}$ で $2P_1$ であった。

この温度範囲での、この物質の 1 mol あたりの蒸発熱（モル蒸発熱）$L$ を、単位 $J/mol$ で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、蒸発熱はこの温度範囲で一定とし、蒸気は理想気体とみなし、液体のモル体積は蒸気のモル体積に比べて無視できるものとする。気体定数を $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\log 2=0.693$ とする。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、放射（光子などの相対論的粒子）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、放射のエネルギー密度を $c^2$ で割った質量密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とする。この宇宙ではフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
が成り立ち、宇宙膨張にともなって $\rho \propto a^{-4}$ と変化する。時刻 $t$ はスケール因子が $a=0$ となる時刻を $t=0$ として測り、$t>0$ で $\dot{a}>0$ とする。密度が $\rho ={\rho }_1$（${\rho }_1>0$）となる時刻 $t_1$ を、$G$ と ${\rho }_1$ を用いて表せ。

$u=u(x,t)$ に対する半線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+x{u}_x=u^2(x\in \mathbb{R},0<t<1),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
は $\mathbb{R}\times [0,1)$ 上でただ 1 つの $C^1$ 級の解 $u$ をもつ。特性曲線の方法でこの解を求め、$u\left(e,\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底である。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\tanh x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上でこの初期値問題の $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T>0$ の上限を $T^{\ast }$ とする。特性曲線の方法を用いて $T^{\ast }$ を求めよ。

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t=0$ で $h=h_0(>0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S\gg \pi a^2$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h=\frac{h_0}{2}$ になる時刻 $t_1$ を、$S,a,L,\rho ,\mu ,g,h_0$ を用いて表せ。

ある純物質の固相と気相の共存曲線（昇華曲線）は、三重点の温度 $T_{\mathrm{t}}$ 以下の温度範囲で
$$\log \frac{P}{P_0}=a-\frac{b}{T}$$
と表される。ここで $P$ は飽和蒸気圧、$T$ は絶対温度、$P_0$ は圧力の基準値（正の定数）、$a$ は定数、$b$ は正の定数である。三重点における 1 mol あたりの融解熱は $L_{\mathrm{f}}$（$0<L_{\mathrm{f}}<Rb$）である。$R$ は気体定数である。

次の仮定をおく。
- 気相は理想気体とみなせる。
- 固相・液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視できる。
- 1 mol あたりの蒸発熱（液相 $\to$ 気相）は、三重点以上の考える温度範囲で温度によらない一定値である。

このとき、温度 $T$（$T>T_{\mathrm{t}}$）における液相の飽和蒸気圧 $P$ を、$P_0,a,b,L_{\mathrm{f}},R,T_{\mathrm{t}},T$ を用いて表せ。

水は圧力 $P_0=1.013\times 10^5\mathrm{Pa}$ のもとで温度 $T_0=373.15\mathrm{K}$ で沸騰する。ある山の上では大気圧が $0.700P_0$ であった。この山の上で水が沸騰する温度 $T$ を求めたい。

次の近似を用いる。
- 水の蒸発熱（1 mol あたり）は $L=40.7kJ/mol$ で、温度によらない
- 水蒸気は理想気体とみなし、液体の水のモル体積は水蒸気のモル体積に比べて無視できる
- 気体定数は $R=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$

$T$ を $\mathrm{K}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。必要なら $\log 0.700=-0.3567$ を用いてよい。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=y^2,y(0)=1$$
の厳密解 $y(t)$ を考える（$0\leqq t<1$）。刻み幅 $h$（$0<h<1$）として、ホイン法（改良オイラー法）
$$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f(t_0+h,y_0+h{k}_1),y_1=y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)$$
を $t_0=0$, $y_0=1$, $f(t,y)=y^2$ として 1 ステップだけ適用し、$y(h)$ の近似値 $y_1$ を得る。

局所誤差 $y(h)-y_1$ を $h\to 0$ で展開したとき
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0,p\text{は正の整数})$$
となる。組 $(p,C)$ を求めよ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=2ty,y(1)=1$$
の厳密解を $y(t)$ とする。$f(t,y)=2ty$ とおき、刻み幅 $h>0$ として、次の 2 段の陽的ルンゲ・クッタ法で $t=1$ から $t=1+h$ まで 1 ステップ進める。
$$k_1=f(1,y(1)),k_2=f\left(1+\frac{2}{3}h,y(1)+\frac{2}{3}h{k}_1\right),y_1=y(1)+h\left(\frac{1}{4}{k}_1+\frac{3}{4}{k}_2\right)$$
このとき、局所誤差は $h\to 0$ で
$$y(1+h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})$$
の形に表される。ここで $p$ は正の整数、$C$ は $0$ でない実数の定数である。$p$ と $C$ をこの順に組 $(p,C)$ で求めよ。

状態 $x(t)\in \mathbb{R}$、入力 $u(t)\in \mathbb{R}$ をもつ線形時不変系
$$\dot{x}(t)=x(t)+u(t),x(0)=1$$
を考える。有限時間区間 $[0,T]$、ただし $T=\frac{\log 2}{2}$ において、評価関数
$$J(u)=x(T{)}^2+{\int }_0^T(3x(t{)}^2+u(t{)}^2)dt$$
を考える。$u$ は $[0,T]$ 上の区分的に連続な実数値関数全体を動くものとする。$J(u)$ の最小値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する保存形の非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+{\left(\frac{u^2}{2}\right)}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=u_0(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ 1& (0<x<1)\\ -1& (x>1)\end{array}$$
を考える。この問題のエントロピー解（ランキン・ユゴニオ条件とラックスのエントロピー条件を満たす区分的に滑らかな弱解）は、$t>0$ においてちょうど 1 本の衝撃波をもつ。時刻 $t$ における衝撃波の位置を $x=s(t)$ とするとき、$s(9)$ の値を求めよ。

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${ϵ}_0$、光速 $c$）に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様で一定の磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B)(B>0)$ がある。この中を、質量 $m$、電荷 $-e(e>0)$ の電子がらせん運動している。時刻 $t=0$ で、電子の速度と磁場のなす角（ピッチ角）は $60^{\circ }$ であった。

電子の速さは常に $c$ より十分小さく、非相対論的に扱ってよい。電子は加速度運動によって電磁波を放射し、その放射の仕事率はラーモアの公式
$$P=\frac{e^2|\mathbf{a}{|}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}$$
で与えられる（$\mathbf{a}$ は電子の加速度）。1 周期あたりに失われるエネルギーは運動エネルギーに比べて十分小さく、各瞬間の運動はらせん運動とみなせるものとし、電子の運動エネルギーは放射されたエネルギーの分だけ減少するものとする。また、放射の反作用は速度の磁場に平行な成分を変えないものとする。重力および電子が受けるその他の力は無視する。

ピッチ角が $45^{\circ }$ になる時刻 $t$ を、${ϵ}_0,c,m,e,B$ を用いて表せ。

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t=0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q(>0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty }$ に近づく。水位が $\frac{h_{\infty }}{4}$ に達する時刻を、$S,Q,a,g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a\ll S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。

60 °C で、開始剤 I（アゾ化合物）を用いてモノマー M のバルクラジカル重合を行う。初濃度は $[\mathrm{M}{]}_0=8.0\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$、$[\mathrm{I}{]}_0=0.010\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ である。

• 開始剤は一次反応で分解し、1 分子あたり 2 個のラジカルを生じる。この温度での開始剤の半減期は $20\mathrm{h}$、開始剤効率は $f=0.60$ とする。開始速度は $R_i=2f{k}_d[\mathrm{I}]$ である。
• 成長速度定数 $k_p=340\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$、停止速度定数 $k_t=6.0\times 10^7\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ とし、停止速度は $R_t=2k_t[\mathrm{M}\cdot {]}^2$ と表す。
• 成長ラジカル濃度 $[\mathrm{M}\cdot ]$ には常に定常状態近似が成り立つ。モノマーは成長反応だけで消費され（長鎖近似）、連鎖移動は起こらない。反応中の体積変化は無視し、$f,k_p,k_t$ は一定とする。

動力学的鎖長を $\nu =R_p/R_i$（$R_p$ は重合速度）と定義する。重合開始から $10\mathrm{h}$ 後の時点での動力学的鎖長 $\nu$ を、開始剤の減少とモノマーの消費をともに考慮して、有効数字 3 桁で求めよ。

モノマー ${\mathrm{M}}_1$ と ${\mathrm{M}}_2$ のラジカル共重合を考える。末端モデル（成長ラジカルの反応性は末端のモノマー単位だけで決まる）が成り立ち、Mayo–Lewis の共重合組成式に従うものとする。モノマーは成長反応だけで消費され（長鎖近似）、反応中に温度は一定で、各速度定数は変化しないとする。

まず、モノマー反応性比 $r_1,r_2$ を決めるため、低転化率（仕込み組成の変化は無視できる）で次の 2 つの実験を行い、生成した共重合体中の ${\mathrm{M}}_1$ 単位のモル分率 $F_1$ を測定した。ここで $f_1$ は仕込みモノマー中の ${\mathrm{M}}_1$ のモル分率である。

• 実験 A: $f_1=\frac{1}{2}$ のとき $F_1=\frac{2}{3}$
• 実験 B: $f_1=\frac{1}{5}$ のとき $F_1=\frac{1}{3}$

次に、同じ条件で ${\mathrm{M}}_1$ と ${\mathrm{M}}_2$ を等モル仕込んで回分式で共重合を進めたところ、残存モノマー中の ${\mathrm{M}}_1$ のモル分率が $\frac{1}{4}$ になった。重合開始からこの時点までに生成した共重合体全体における ${\mathrm{M}}_1$ 単位の平均モル分率 ${\bar{F}}_1$ を、既約分数で求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{x}f(y)dy-2{\int }_x^{1}f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ のスペクトル半径
$$r(T)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}$$
を求めよ。

頂点を真下に向けて鉛直に置いた円錐形の容器（半頂角 $\alpha$、$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）に水が入っている。容器の頂点には断面積 $a$ の小さな穴があり、時刻 $t=0$ にこの穴を開くと、水は穴から真下に流れ出る。$t=0$ での水面の高さ（穴から水面までの鉛直距離）は $H$ である。

水は非圧縮・非粘性の完全流体とし、穴から流れ出る水の断面積は $a$ に等しいとする（縮流は無視する）。水面と穴の出口にはともに同じ大気圧がはたらき、重力加速度の大きさを $g$ とする。$a$ は水面の面積に比べて十分小さく、水面が穴に近づいた最後の短い時間を除いて流れは各瞬間で定常流とみなせる（準定常近似）ものとし、水面の降下速度による運動エネルギーは穴から出る水の運動エネルギーに比べて無視する。

穴を開いてから容器が空になるまでの時間 $T$ を、$H,a,g,\alpha$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、光速 $c$）に、質量 $m$ の 2 つの小球があり、一方は電荷 $+q(q>0)$、他方は電荷 $-q$ をもつ。2 つの小球はばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、$x$ 軸上だけを運動する。はじめ 2 つの小球の重心は静止しており、2 つの小球は重心に対して対称に、ばねの自然長のまわりで $x$ 軸方向に微小振動している。

2 つの小球は加速度運動するので電磁波を放射し、そのぶん振動のエネルギー（2 つの小球の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの和）がゆっくり減っていく。次の近似を用いる。
- 小球の速さは $c$ に比べて十分小さく、振動の振幅は放射される電磁波の波長に比べて十分小さいので、放射は電気双極子放射として扱い、その全放射パワーは双極子モーメント $\mathbf{p}(t)$ を用いて $P=\frac{|\ddot{\mathbf{p}}{|}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$ で与えられる（ラーモアの公式）。
- 2 つの小球のあいだのクーロン力、重力、空気抵抗は無視する。
- 振動のエネルギーが 1 周期のあいだに失われる割合は十分小さく、エネルギーの減り方は 1 周期にわたる放射パワーの時間平均で決まるとする。

振動のエネルギーが初めの値の $\frac{1}{2}$ になるまでにかかる時間を、$q,m,k,{\epsilon }_0,c$ を用いて求めよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$（現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$）、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の質量密度を $\rho (t)$、万有引力定数を $G$、光速を $c$ とすると、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}(k\text{は定数})$$
に従い、物質の質量は保存されるので $\rho a^3$ は一定である。現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）、臨界密度を ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の密度パラメータ ${\Omega }_0=\frac{\rho (t_0)}{{\rho }_c}$ は ${\Omega }_0>1$ を満たすとする。

この宇宙は $a=0$ の状態（ビッグバン）から膨張を始め、最大まで膨張したのち収縮に転じ、再び $a=0$ の状態（ビッグクランチ）に至る。ビッグバンからビッグクランチまでの時間 $t_{\text{life}}$ を、$H_0$, ${\Omega }_0$ を用いて表せ。

$u=u(x,t)$ に対する保存則（バーガース方程式）の初期値問題
$$u_t+{\left(\frac{u^2}{2}\right)}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=\{\begin{array}{ll}2& (-1<x<0)\\ 1& (0<x<1)\\ 0& (x<-1\text{または}x>1)\end{array}$$
を考える。$u$ はこの問題のエントロピー解（区分的に滑らかで、不連続線ではランキン・ユゴニオ条件とラックスのエントロピー条件をみたす弱解）とする。このエントロピー解は、ある時刻以降、不連続線（衝撃波）をちょうど 1 本だけもつ。時刻 $t=6$ における衝撃波の位置 $x$ 座標を求めよ。