電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${ϵ}_0$、光速 $c$）に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様で一定の磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B)(B>0)$ がある。この中を、質量 $m$、電荷 $-e(e>0)$ の電子がらせん運動している。時刻 $t=0$ で、電子の速度と磁場のなす角（ピッチ角）は $60^{\circ }$ であった。

電子の速さは常に $c$ より十分小さく、非相対論的に扱ってよい。電子は加速度運動によって電磁波を放射し、その放射の仕事率はラーモアの公式
$$P=\frac{e^2|\mathbf{a}{|}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}$$
で与えられる（$\mathbf{a}$ は電子の加速度）。1 周期あたりに失われるエネルギーは運動エネルギーに比べて十分小さく、各瞬間の運動はらせん運動とみなせるものとし、電子の運動エネルギーは放射されたエネルギーの分だけ減少するものとする。また、放射の反作用は速度の磁場に平行な成分を変えないものとする。重力および電子が受けるその他の力は無視する。

ピッチ角が $45^{\circ }$ になる時刻 $t$ を、${ϵ}_0,c,m,e,B$ を用いて表せ。

SI 単位系で、数密度 $n$ の自由電子（質量 $m$、電荷 $-e$）と、電荷を中和する一様な正イオンからなる冷たいプラズマがある。正イオンは重いので静止しているとみなし、電子の熱運動・衝突、電子にはたらく磁場からの力は無視し、電子の運動は非相対論的に扱う。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とし、プラズマ角振動数を ${\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_{0}m}}$ とする。

このプラズマ中を、$z$ 軸の正の向きに、角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の横波の平面電磁波
$$\mathbf{E}=\left(E_0\cos (kz-\omega t),0,0\right)(E_0>0,k>0)$$
が伝わっている。電子の速度はこの電場によって生じる振動成分だけからなるものとする。

電場のエネルギー密度 $\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$、磁場のエネルギー密度 $\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$、電子の運動エネルギー密度 $\frac{1}{2}nm|\mathbf{v}{|}^2$ をそれぞれ時間平均し、それらの和を全エネルギー密度とする。全エネルギー密度のうち電子の運動エネルギー密度が占める割合を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸方向を向いた空間的に一様な磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B(t))$ がある（たとえば十分太いソレノイドの内部）。この電磁場を、対称ゲージのポテンシャル
$$\varphi =0,\mathbf{A}=\frac{B(t)}{2}\left(-y,x,0\right)$$
で表す。

時刻 $t<0$ では $B=0$ で、質量 $m$、電荷 $q(q>0)$ の荷電粒子が点 $(r_0,0,0)(r_0>0)$ に静止している。時刻 $t=0$ から磁場を増やし始め、ごく短い時間 $\Delta t$ の間に $B=B_0(B_0>0)$ にして、その後は一定に保つ。$\Delta t$ はサイクロトロン運動の周期 $2\pi m/(q{B}_0)$ に比べて十分短く、磁場が変化する間の粒子の変位は無視できるものとする。

磁場が $B_0$ で一定になった後、粒子は $xy$ 平面内で等速円運動をする。その円軌道の半径を、$r_0,m,q,B_0$ のうち必要なものを用いて求めよ。粒子の運動は非相対論的に扱い、重力と粒子の放射は無視する。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸を共通の中心軸とする、半径 $a$ の導体円柱（内導体）と内半径 $b(b>a)$ の導体円筒（外導体）からなる、長さ $L$ のまっすぐな同軸ケーブルがある。内導体と外導体のあいだは真空である。ケーブルの一端には直流電源が、他端には抵抗がつながれていて、内導体の電位は外導体より $V(V>0)$ だけ高く保たれ、内導体には $z$ 軸の正の向きに、外導体には負の向きに、それぞれ大きさ $I(I>0)$ の一定の電流が流れている。

ケーブルの両端付近の場の乱れは無視し、内導体と外導体のあいだ（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）の電場と磁場は、十分長い同軸ケーブルの静的な場と同じであるとする。また、導体の抵抗は無視でき、両導体の電位はそれぞれ長さ方向に一定とみなす。真空の誘電率と透磁率を ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

電磁場の運動量密度を $\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ として、内導体と外導体のあいだの領域（$a<r<b$、長さ $L$）にある電磁場の運動量の大きさを、$V$, $I$, $L$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空（真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、光速 $c$）中で、点電荷 $q(q>0)$ が外力によって $xy$ 平面内の原点を中心とする半径 $R$ の円周上を、一定の角速度 $\omega$ で等速円運動している。速さは $R\omega \ll c$ を満たし、放射は非相対論的な扱い（ラーモアの公式と、それに対応する放射の角度分布）で求めてよいとする。

原点から十分遠方（$r\gg c/\omega$）の放射場を考える。$z$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とする。$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{3}$ の円錐の内側へ放射される電磁波のパワーを、1 周期で時間平均した値を $q,R,\omega ,{\epsilon }_0,c$ を用いて求めよ。