電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化

電池につないだままなら電圧 $V$ が一定、電池から切り離したなら電気量 $Q$ が一定であることから、極板の間隔・面積を変えたり誘電体を入れたりしたときの電気容量・電圧・電気量・極板間の電場（ $E = \frac{V}{d}$ ）・静電エネルギーが大きくなるか、小さくなるか、変わらないかを判定できる

前提

コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

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コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

説明

平行板コンデンサーの極板の間隔や面積を変えたり、極板の間に誘電体を入れたりすると、電気容量 $C$ が変わり、それにつれて電圧 $V$ ・電気量 $Q$ ・極板間の電場 $E$ ・静電エネルギー $U$ も変わります。この技能では、まず「電池につないだままか、切り離したか」を見て、変わらない量を 1 つ決めます。そのあと残りの量が大きくなるか、小さくなるか、変わらないかを順に判定します。共通テストなどで、正しい記述を選ぶ問題によく出ます。

なぜそうしてよいのか

電池は、両端の電位差（電圧）をいつも一定に保つはたらきをもちます。コンデンサーを電池につないだままにしておくと、極板間の電圧は電池の電圧 $V$ に保たれます。 $C$ が変わると、電池との間で電荷が出入りして $Q = C V$ になるように $Q$ が調整されます。一方、電池から切り離すと、極板上の電荷には行き場がありません。電気量保存の法則から、極板の電気量 $Q$ は一定のままです。このときは $V = \frac{Q}{C}$ の関係で、 $C$ の変化に合わせて電圧が変わります。

電気容量は $C = ε \frac{S}{d}$ （ $S$ ：極板面積、 $d$ ：間隔、 $ε$ ：極板間の物質の誘電率）で決まります。極板の間を比誘電率 $ε_{r}$ の誘電体で満たすと、 $C$ は $ε_{r}$ 倍になります。 $C$ の変化がわかれば、一定の量（ $V$ か $Q$ ）を使って残りの量を求められます。極板間の電場は一様なので $E = \frac{V}{d}$ です。 $Q$ が一定のときは $E = \frac{V}{d} = \frac{Q}{C d} = \frac{Q}{εS}$ となり、間隔 $d$ を変えても $E$ は変わりません。

静電エネルギーは、一定の量を含む式を選んで判定します。 $V$ 一定なら $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ 、 $Q$ 一定なら $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ を使うと、変わる量が $C$ だけになります。たとえば切り離したまま極板を引き離すと $U$ は増えますが、これは極板どうしの引力に逆らって外から仕事をしたぶんだと考えると納得できます。

手順

状況を読み、一定の量を決める。電池につないだままなら $V$ が一定、電池から切り離したなら $Q$ が一定。
電気容量の変化を $C = ε \frac{S}{d}$ で求める。間隔 $d$ を $k$ 倍すると $C$ は $\frac{1}{k}$ 倍、面積 $S$ を $k$ 倍すると $C$ は $k$ 倍、比誘電率 $ε_{r}$ の誘電体で満たすと $C$ は $ε_{r}$ 倍になる。
$Q = C V$ を使って、一定でないほうの量を求める。 $V$ 一定なら $Q = C V$ は $C$ と同じ倍率になる。 $Q$ 一定なら $V = \frac{Q}{C}$ は $C$ の逆数の倍率になる。
極板間の電場を $E = \frac{V}{d}$ で求める。 $V$ と $d$ の両方が変わるときは、両方の倍率を入れる。
静電エネルギーを、一定の量を含む式で求める。 $V$ 一定なら $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ 、 $Q$ 一定なら $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ を使う。

例題

極板の間が真空の平行板コンデンサーを電池につないで充電した。そのあと電池から切り離し、極板の面積を変えずに極板の間隔を 2 倍にした。間隔を変える前と比べたときの変化について、正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　電気容量は 2 倍になる。
イ　極板間の電圧は 2 倍になる。
ウ　極板間の電場の強さは $\frac{1}{2}$ 倍になる。
エ　静電エネルギーは $\frac{1}{2}$ 倍になる。

例題の解答

手順1：電池から切り離しているので、電気量 $Q$ が一定である。
手順2： $C = ε \frac{S}{d}$ で $d$ が 2 倍になるから、電気容量は $\frac{1}{2}$ 倍になる。よってアは誤り。
手順3： $V = \frac{Q}{C}$ で、 $Q$ は一定、 $C$ は $\frac{1}{2}$ 倍だから、電圧は 2 倍になる。よってイは正しい。
手順4： $E = \frac{V}{d}$ で、 $V$ も $d$ も 2 倍だから、 $E$ は $\frac{2}{2} = 1$ 倍で変わらない。よってウは誤り。
手順5： $Q$ 一定なので $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ を使う。 $C$ が $\frac{1}{2}$ 倍だから、 $U$ は 2 倍になる。よってエは誤り。
以上より、正しいものはイである。

答え:

イ

よくある誤り

電池から切り離したあとも電圧 $V$ が一定だとしてしまう誤り。切り離すと電圧を保つものがなくなり、一定なのは電気量 $Q$ である。正しくは、 $d$ を 2 倍にすると $C$ が $\frac{1}{2}$ 倍になるので、 $V = \frac{Q}{C}$ は 2 倍になる。
間隔 $d$ を 2 倍にすると、 $E = \frac{V}{d}$ から電場がいつも $\frac{1}{2}$ 倍になるとしてしまう誤り。 $\frac{1}{2}$ 倍になるのは $V$ 一定（つないだまま）のときだけである。正しくは、 $Q$ 一定のときは $V$ も 2 倍になるので、 $E = \frac{2 V}{2 d} = \frac{V}{d}$ で変わらない。
$Q$ 一定の場合に $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ を使い、「 $C$ が $\frac{1}{2}$ 倍だから $U$ も $\frac{1}{2}$ 倍」としてしまう誤り。この式では $V$ も変わるので、 $C$ だけを見てはいけない。正しくは、変わらない $Q$ を含む $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ を使い、 $U$ は 2 倍になる。
電池につないだまま誘電体（比誘電率 $ε_{r}$ ）で極板間を満たしたとき、電気量 $Q$ は変わらないとしてしまう誤り。つないだままなら一定なのは $V$ で、電池から電荷が流れ込む。正しくは、 $Q = ε_{r} C V$ で $Q$ は $ε_{r}$ 倍になり、 $E = \frac{V}{d}$ は変わらない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
極板間が真空の平行板コンデンサーを電池につないで十分に充電したあと、電池から切り離した。その後、極板の面積と間隔は変えずに、極板間のすき間全体を比誘電率 $2$ の誘電体で満たした。極板の間隔は極板の大きさに比べて十分小さく、極板間の電場は一様であるとみなす。また、極板から電荷が逃げることはないものとする。
誘電体を入れる前と比べて述べた文としてあてはまるものを、次のア〜オからすべて選べ。
- ア　コンデンサーに蓄えられた電気量は 2 倍になる。
- イ　コンデンサーの電気容量は 2 倍になる。
- ウ　極板間の電圧は $\frac{1}{2}$ 倍になる。
- エ　極板間の電場の強さは変わらない。
- オ　コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは $\frac{1}{2}$ 倍になる。

この技能を使う問題

	a	b
ア	大きくなる	大きくなる
イ	大きくなる	変わらない
ウ	変わらない	変わらない
エ	変わらない	大きくなる
オ	小さくなる	大きくなる
カ	小さくなる	変わらない

この技能の次に学べること

コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）