コンデンサーの電気容量と電気量

$Q = C V$ と平行板コンデンサーの電気容量 $C = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d}$ を使い、極板の面積・間隔を変えたり誘電体をすき間なく満たしたりしたときの電気容量・電気量・電圧・極板間の電場 $E = \frac{V}{d}$ を求められる

前提

一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

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算数中学高校大学大学院

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電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

説明

コンデンサーの電気容量 $C$ を極板の面積・間隔・誘電体から数値で求め、 $Q = C V$ と $E = \frac{V}{d}$ を使って電気量・電圧・極板間の電場を計算できるようになります。前の技能では「大きくなるか、小さくなるか」を判定しましたが、ここでは具体的な値を出します。極板の間隔を変える、誘電体を入れる、電池から切り離す、といった操作の前後で、それぞれの量がいくらになるかを求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

平行板コンデンサーの極板に $+ Q$ と $- Q$ が蓄えられると、極板間には一様な電場ができます。電気力線の考え方では、電荷 $Q$ からは $\frac{Q}{ε _{0}}$ 本の電気力線が出ます。その電気力線が面積 $S$ の極板間を一様に貫くので、電場の強さ（単位面積あたりの本数）は $E = \frac{Q}{ε _{0} S}$ です。ここで $ε_{0}$ は真空の誘電率という定数です。

一様な電場の中で距離 $d$ 離れた極板間の電位差は $V = E d$ なので、 $V = \frac{Q d}{ε _{0} S}$ となります。これを $Q$ について解くと $Q = ε_{0} \frac{S}{d} V$ です。つまり $Q$ は $V$ に比例し、その比例定数が電気容量 $C = ε_{0} \frac{S}{d}$ になります。面積が広いほど同じ電圧で多くの電荷がたまり、間隔が狭いほど同じ電荷でも電圧が小さくて済みます。 $C$ が $S$ に比例し $d$ に反比例するのはこのためです。

極板間を誘電体ですき間なく満たすと、誘電分極によって誘電体の表面に極板と逆符号の電荷が現れ、電場を打ち消します。同じ $Q$ でも電場が $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍に弱まるので、電圧も $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍になります。 $ε_{r}$ はその誘電体の比誘電率で、1 より大きい数です。 $Q = C V$ から見ると、電気容量が $ε_{r}$ 倍になり、 $C = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d}$ となります。真空や空気（ほぼ真空とみなす）のときは $ε_{r} = 1$ です。

手順

面積・間隔を SI 単位にそろえる。 $1 c m^{2} = 1.0 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ 、 $1 mm = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$
変化後の状態での電気容量を求める。 $C = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d}$ （真空・空気なら $ε_{r} = 1$ ）
電池につないだままなら $V$ が一定（電池の電圧）、切り離したなら $Q$ が一定（切り離す前の値）であることから、決まっている量を書き出す
$Q = C V$ を使って、わからない方の量（ $Q$ または $V$ ）を求める
極板間の電場が必要なら、変化後の電圧と間隔で $E = \frac{V}{d}$ を計算する

例題

面積 $2.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ の 2 枚の金属板を、間隔 $1.0 mm$ で平行に向かい合わせた平行板コンデンサーがある。はじめ極板間は真空で、このコンデンサーを電圧 $100 V$ の電池につないで十分に時間をおいた。電池につないだまま、極板間を比誘電率 $3.0$ の誘電体ですき間なく満たした。十分に時間がたったあとにコンデンサーに蓄えられている電気量は何 C か。真空の誘電率を $8.9 \times 1 0^{- 12} F/m$ とし、有効数字 2 桁で答えよ。

例題の解答

手順1（単位をそろえる）： $S = 2.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ 、 $d = 1.0 mm = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$ である。

手順2（電気容量）：誘電体を満たしたあとなので $ε_{r} = 3.0$ を使う。
$C = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d} = 3.0 \times 8.9 \times 1 0^{- 12} \times \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 2}}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 5.34 \times 1 0^{- 10} F$

手順3（一定の量）：電池につないだままなので、電圧は電池の電圧 $V = 100 V$ のまま変わらない。

手順4（ $Q = C V$ ）：
$Q = C V = 5.34 \times 1 0^{- 10} \times 100 = 5.34 \times 1 0^{- 8} C$
有効数字 2 桁に丸めると $5.3 \times 1 0^{- 8} C$ である。

（参考：はじめの電気量は $1.78 \times 1 0^{- 8} C$ で、誘電体を入れたことで 3.0 倍に増えた。電池から電荷が追加で運ばれたためである。）

答え: $5.3 \times 1 0^{- 8}$

よくある誤り

$c m^{2}$ を $m^{2}$ に直すとき、 $1 c m^{2} = 1 0^{- 2} m^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $1 c m^{2} = (1 0^{- 2} m)^{2} = 1 0^{- 4} m^{2}$ なので、例えば $200 c m^{2} = 2.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ である。
誘電体を満たしたのに $C = ε_{0} \frac{S}{d}$ のまま計算してしまう誤り。正しくは $C = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d}$ とし、比誘電率 $ε_{r}$ 倍にする。
電池につないだまま誘電体を入れたとき、電場を $E = \frac{V}{ε _{r} d}$ と小さくしてしまう誤り。正しくは、電圧 $V$ も間隔 $d$ も変わらないので $E = \frac{V}{d}$ は変わらない。電場が $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍になるのは、電池から切り離して $Q$ が一定のときである。
電池から切り離したあとに間隔を変えても、電圧をはじめの電池の電圧のままとしてしまう誤り。正しくは $Q$ が一定なので、新しい電気容量 $C^{'}$ を使って $V^{'} = \frac{Q}{C ^{'}}$ と求め直す。例えば間隔を 2 倍にすると $C^{'} = \frac{C}{2}$ なので $V^{'} = 2 V$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
積分回路（大学物理電子回路・半導体デバイス）
空乏層の幅と接合容量（大学物理電子回路・半導体デバイス）
ラプラス変換による回路の s 領域表示と 1 次回路の過渡現象（大学物理電気回路）