コンデンサーの静電エネルギー

コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーを $U = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ で表し、 $C$ ・ $V$ ・ $Q$ のどれが一定かに応じて、静電エネルギーが何倍になるかを判定できる

前提

コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

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コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

説明

コンデンサーに電荷を蓄えると、そこにはエネルギーが蓄えられます。これを静電エネルギーといい、 $U = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ の 3 通りの式で表せます。極板の間隔を変える、誘電体を入れるなどの操作をしたとき、電池につないだままか切り離したかによって、静電エネルギーが何倍になるかを判定できるようになります。

なぜそうしてよいのか

電荷がない状態から、少しずつ電荷を運んでコンデンサーを充電する場面を考えます。電気量が $q$ のときの極板間の電圧は $Q = C V$ より $v = \frac{q}{C}$ で、 $q$ に比例して大きくなります。ここへ小さな電気量 $Δ q$ を運ぶのに必要な仕事は $v Δ q$ です。これは、横軸に $q$ 、縦軸に $v$ をとったグラフで、幅 $Δ q$ ・高さ $v$ の細い長方形の面積にあたります。

$q = 0$ から $q = Q$ まで運ぶのに必要な仕事の合計は、この細い長方形を全部足したものです。つまり、原点から点 $(Q, V)$ まで引いた直線の下の三角形の面積になり、 $\frac{1}{2} Q V$ となります。この仕事がコンデンサーに静電エネルギーとして蓄えられるので、 $U = \frac{1}{2} Q V$ です。直観的には、電圧が $0$ から $V$ まで一様に増えるので、平均の電圧 $\frac{V}{2}$ で $Q$ を運んだと考えても同じ結果になります。

さらに $Q = C V$ を代入すると $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ 、 $V = \frac{Q}{C}$ を代入すると $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ になります。3 つの式の中身は同じです。何倍になるかを調べるときは、変化しない量（一定の量）と $C$ だけで書ける式を選ぶと、迷わずに判定できます。

手順

何が一定かを決める。電池につないだままなら電圧 $V$ が一定、電池を切り離した後なら（電荷の逃げ場がないので）電気量 $Q$ が一定。
操作によって電気容量 $C$ が何倍になるかを $C = ε \frac{S}{d}$ から求める（間隔 $d$ が $k$ 倍なら $\frac{1}{k}$ 倍、誘電体を満たすと $ε_{r}$ 倍など）。
一定の量と $C$ だけで書ける式を選ぶ。 $V$ 一定なら $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ 、 $Q$ 一定なら $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ 。
選んだ式に $C$ の倍率を入れて、 $U$ が何倍になるかを求める。

例題

平行板コンデンサーを電池につないで十分に充電した後、電池を切り離した。その後、極板の面積は変えずに、極板の間隔をはじめの 2 倍に広げた。極板間は真空とし、極板の端の影響は無視する。このとき、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは、はじめの何倍になるか。正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　 $\frac{1}{4}$ 倍　イ　 $\frac{1}{2}$ 倍　ウ　2 倍　エ　4 倍

例題の解答

手順 1: 電池を切り離した後に操作しているので、極板の電荷には逃げ場がなく、電気量 $Q$ が一定である。
手順 2: $C = ε_{0} \frac{S}{d}$ で、 $S$ は変わらず $d$ が 2 倍になるので、電気容量は $\frac{1}{2}$ 倍になり $\frac{C}{2}$ となる。
手順 3: $Q$ が一定なので、 $Q$ と $C$ で書ける $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ を使う。
手順 4: 間隔を広げた後の静電エネルギーは $U^{'} = \frac{Q ^{2}}{2 \cdot \frac{C}{2}} = 2 \cdot \frac{Q ^{2}}{2 C} = 2 U$ となり、2 倍になる。
（確かめ: $V = \frac{Q}{C}$ より電圧も 2 倍になるので、 $U = \frac{1}{2} Q V$ でも 2 倍になる。増えた分のエネルギーは、引き合う極板を引き離すために外から加えた仕事から来ている。）
よって、答えはウ。

答え:

ウ

よくある誤り

電池を切り離した後なのに、電圧 $V$ を一定として $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ に $C \to \frac{C}{2}$ を入れ、「 $\frac{1}{2}$ 倍」としてしまう誤り。正しくは、切り離した後は $Q$ が一定で、 $V = \frac{Q}{C}$ も 2 倍に変わる。 $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ を使うと 2 倍になる。
電池につないだまま比誘電率 $ε_{r}$ の誘電体を満たしたのに、 $Q$ を一定として $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ から「 $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍」としてしまう誤り。正しくは、電池につないだままなら $V$ が一定で、 $Q$ は $ε_{r}$ 倍に増える。 $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ より $ε_{r}$ 倍になる。
静電エネルギーを $U = Q V$ と、 $\frac{1}{2}$ を落としてしまう誤り。 $Q V$ は電池が電荷 $Q$ を送り出すときにした仕事である。充電中の電圧は $0$ から $V$ まで増えていくので、コンデンサーに蓄えられるのは $U = \frac{1}{2} Q V$ だけになる（残りは導線などでジュール熱になる）。
「電荷を 2 倍蓄えたら電気容量も 2 倍になる」と考え、 $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ の $C$ まで変えてしまう誤り。正しくは、 $C$ は極板の形と間隔、誘電体だけで決まり、 $Q$ や $V$ によって変わらない。同じコンデンサーで電圧を 2 倍にすると $Q$ も 2 倍になり、 $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ より $U$ は 4 倍になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
はじめに電荷を蓄えていないコンデンサーを電池につないで充電し、蓄えられる静電エネルギーを考える。コンデンサーの電気容量を $C$ 、充電後の極板間の電圧を $V$ 、蓄えられた電気量を $Q$ とし、各文では、書かれていること以外の条件は変えないものとする。
コンデンサーの静電エネルギーについて述べた文としてあてはまるものを、次のア〜オからすべて選べ。
- ア　同じコンデンサーを、起電力が 2 倍の電池で充電すると、蓄えられる静電エネルギーは 4 倍になる。
- イ　同じコンデンサーを、起電力が 2 倍の電池で充電すると、蓄えられる静電エネルギーは 2 倍になる。
- ウ　蓄えられる静電エネルギーは、 $Q$ と $V$ を使って $\frac{1}{2} Q V$ と表される。
- エ　同じコンデンサーに蓄える電気量を 2 倍にすると、蓄えられる静電エネルギーは 4 倍になる。
- オ　電気容量の異なる 2 個のコンデンサーを同じ電圧で充電すると、電気容量が大きい方が、蓄えられる静電エネルギーは小さい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーを含む直流回路（定常状態）（高校物理電流と回路）
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））