コンデンサーを含む直流回路（定常状態）

十分に時間がたつとコンデンサーを含む枝に電流が流れないことを使って回路の電流と各部の電圧を求め、コンデンサーの電圧から電気量 $Q = C V$ や静電エネルギー $\frac{1}{2} C V^{2}$ を求められる

前提

オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

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コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

説明

電池・抵抗・コンデンサーを組み合わせた回路で、スイッチを入れてから十分に時間がたった後（定常状態）の電流や各部の電圧を求める技能です。カギは「コンデンサーを含む枝には電流が流れない」ことです。これを使うと回路が抵抗だけの回路に簡単になり、オームの法則と合成抵抗で電流と電圧が求まります。最後にコンデンサーの両端の電圧 $V$ から、電気量 $Q = C V$ や静電エネルギー $\frac{1}{2} C V^{2}$ を求めます。

なぜそうしてよいのか

コンデンサーの2枚の極板の間は絶縁されているので、電荷が極板の間を通り抜けることはありません。スイッチを入れた直後は、電池が一方の極板に正の電荷を、もう一方に負の電荷を運ぶので、導線には電流が流れます（充電）。しかし電荷 $Q$ がたまるほど極板間の電圧 $\frac{Q}{C}$ が大きくなり、電荷を押し込もうとする電圧との差が小さくなるので、充電電流はだんだん減っていきます。

やがてコンデンサーの電圧が、その枝の両端にかかる電圧と等しくなると、電荷を運ぶ原因がなくなり、電流は $0$ になります。これが「十分に時間がたった」状態です。このときコンデンサーの枝は、導線が切れているのと同じ働きをします。

さらに、コンデンサーと直列につながった抵抗 $R$ にも電流 $I = 0$ しか流れないので、その電圧は $V = R I = 0$ です。つまり、コンデンサーの両端の電圧は、その枝がつながっている2点間の電圧にそのまま等しくなります。この電圧は、枝を切り離した残りの回路（抵抗だけの回路）から求められます。

手順

十分に時間がたった後なので、コンデンサーを含む枝の電流を $0$ とし、その枝を回路から切り離して考える。
残った抵抗だけの回路で、合成抵抗とオームの法則 $V = R I$ を使って電流を求める。
コンデンサーの枝がつながっている2点間の電圧を求める。コンデンサーと直列の抵抗の電圧は $0$ なので、これがコンデンサーの電圧 $V$ になる。
コンデンサーの電気量 $Q = C V$ 、必要なら静電エネルギー $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ を計算する（容量の単位 $μ F = 1 0^{- 6} F$ に注意）。

例題

起電力 $12 V$ の電池（内部抵抗は無視する）に、抵抗 $R_{1} = 2.0 Ω$ と抵抗 $R_{2} = 4.0 Ω$ を直列につなぐ。さらに $R_{2}$ の両端に、電気容量 $3.0 μ F$ のコンデンサーを $R_{2}$ と並列につなぐ。導線の抵抗は無視し、コンデンサーははじめ電荷をもっていなかったとする。スイッチを閉じて十分に時間がたった後、コンデンサーに蓄えられている電気量は何 C か。有効数字2桁で求めよ。

例題の解答

手順1：十分に時間がたったので、コンデンサーの枝には電流が流れない。この枝を切り離すと、回路は電池に $R_{1}$ と $R_{2}$ を直列につないだだけになる。

手順2：合成抵抗は $R_{1} + R_{2} = 2.0 + 4.0 = 6.0 Ω$ 。流れる電流は $I = \frac{12}{6.0} = 2.0 A$ 。

手順3：コンデンサーは $R_{2}$ の両端につながっているので、その電圧は $R_{2}$ の電圧に等しい。 $V = R_{2} I = 4.0 \times 2.0 = 8.0 V$ 。

手順4： $C = 3.0 μ F = 3.0 \times 1 0^{- 6} F$ なので、 $Q = C V = 3.0 \times 1 0^{- 6} \times 8.0 = 2.4 \times 1 0^{- 5} C$ 。

（参考：静電エネルギーは $U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \times 3.0 \times 1 0^{- 6} \times 8. 0^{2} = 9.6 \times 1 0^{- 5} J$ 。）

答え: $2.4 \times 1 0^{- 5}$

よくある誤り

コンデンサーの枝にも電流が流れるとして、その枝を合成抵抗の計算に含めてしまう誤り。例えば抵抗 $R_{3}$ とコンデンサーを直列にした枝を $R_{2}$ と並列とみて $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{2}} + \frac{1}{R _{3}}$ とするのは誤り。正しくは、定常状態ではその枝の電流は $0$ なので、枝ごと取り除いて合成抵抗を求める。
コンデンサーと直列につないだ抵抗 $R_{3}$ にも電圧がかかるとして、コンデンサーの電圧を「2点間の電圧 $- R_{3} I$ 」としてしまう誤り。正しくは、その枝の電流は $0$ なので $R_{3}$ の電圧は $R_{3} \times 0 = 0$ で、コンデンサーの電圧は2点間の電圧そのものになる。
電気容量の単位を換算せずに $Q = 3.0 \times 8.0 = 24 C$ としてしまう誤り。正しくは $3.0 μ F = 3.0 \times 1 0^{- 6} F$ として $Q = 2.4 \times 1 0^{- 5} C$ 。
静電エネルギーを $U = C V^{2}$ や $U = Q V$ として $\frac{1}{2}$ を落とす誤り。正しくは $U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} Q V$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

スイッチ操作とスイッチを通過する電気量（高校物理電流と回路）