抵抗とコンデンサーを含む回路で、スイッチ操作の前後それぞれの定常状態を抵抗の分圧から求めて各コンデンサーの電気量を出し、スイッチにつながる極板の電気量の和の変化から、スイッチを通過した電気量を求められる
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抵抗とコンデンサーを含む回路でスイッチを入れたり切ったりすると、コンデンサーの電気量が変わります。電荷はそのとき導線を通って移動し、その一部はスイッチを通ります。この技能を使うと、スイッチ操作の前後の定常状態をそれぞれ求め、極板の電気量の変化から「スイッチを通過した電気量」を求められます。途中の電流の時間変化を追う必要はなく、始めと終わりの状態だけで答えが決まります。
スイッチの片側の端子につながる導線と、その導線につながる極板をまとめて「島」と呼ぶことにします。島がスイッチ以外ではコンデンサーの極板にしかつながっていなければ、島に電荷が出入りできる通り道はスイッチだけです。コンデンサーの2枚の極板の間は絶縁されているので、極板を通って電荷が行き来することはありません。したがって電気量保存の法則から、(島の電気量の増加) = (スイッチを通って島に流れ込んだ電気量) となります。
島の電気量は、島に含まれる各極板の電気量の和です。各極板の電気量は で求められ、電位の高い側の極板が 、低い側が です。操作の前後とも、十分に時間がたった定常状態ではコンデンサーを含む枝に電流が流れません。そのため、各点の電位は抵抗の部分だけを流れる電流と、抵抗による分圧から決まります。前後の定常状態で島の電気量の和を出し、その差をとれば、スイッチを通過した電気量になります。
操作前の定常状態で、各コンデンサーの電圧を求める（電流の流れる抵抗の分圧、またはコンデンサーの直列・並列の関係を使う）。
スイッチの一方の端子につながり、スイッチ以外では極板にしかつながっていない部分（島）を選ぶ。島に含まれる極板の電気量を、電位の高い極板は 、低い極板は として符号つきで足し、 とする。
操作後の定常状態で、コンデンサーの枝に電流が流れないことを使って各点の電位を抵抗の分圧から求め、各コンデンサーの電圧を出す。
同じ島の極板の電気量を符号つきで足し、 とする。
を計算する。 がスイッチを通過した電気量の大きさになる。 なら、正の電荷がスイッチを通って島へ流れ込んだ。
内部抵抗の無視できる起電力 の電池の負極を点 O、正極を点 A とする。A と O の間に、A 側から順に抵抗値 の抵抗 と抵抗値 の抵抗 を直列につなぎ、その接続点を P とする。同じ A と O の間に、A 側から順に電気容量 のコンデンサー と電気容量 のコンデンサー を直列につなぎ、その接続点を Q とする。P と Q の間にスイッチ S をつなぐ。はじめ S は開いており、両コンデンサーは電荷をもたない状態で回路につないで十分に時間がたっている。次に S を閉じて十分に時間がたった。この間に S を通過した電気量の大きさを求めよ。導線の抵抗は無視する。
O の電位を 0、A の電位を とする。
【手順1】S が開いているとき、 と ははじめ電荷をもたない状態で直列につながれている。そのため両者の電気量は等しく、合成容量は である。電気量は となる。
【手順2】島として、Q につながる部分（ の下側の極板と の上側の極板）を選ぶ。S が開いていれば、ここは他から孤立している。 の下側の極板は の中で電位の低い側なので 、 の上側の極板は の中で電位の高い側なので である。よって
【手順3】S を閉じて十分に時間がたつと、コンデンサーの枝にも S にも電流は流れない。電流は だけを流れ、その大きさは である。P の電位は の電圧に等しく となる。Q は P とつながったので、Q の電位も である。 の電圧は 、 の電圧は になる。
【手順4】 の下側の極板は電位が低い側なので である。 の上側の極板は電位が高い側なので である。よって
【手順5】 である。正の電荷 が S を通って P から Q の側へ流れ込んだ。S を通過した電気量の大きさは である。
答え:
1つのコンデンサーの電気量の変化だけを答えにしてしまう誤り。例えば例題で だけを見て とするのは誤り。正しくは、島に含まれるすべての極板の電気量の和の変化を考え、 とする。
極板の電気量を符号なしで足してしまう誤り。例えば とするのは誤り。正しくは、電位の低い側の極板を負にして とする。
S を閉じた後のコンデンサーの電圧を、容量の比による直列の分け方 で求めてしまう誤り。S を閉じると島は孤立しなくなるので、各コンデンサーの電気量はもう等しくない。正しくは、電流の流れる抵抗の分圧で P（=Q）の電位 を決めてから、各コンデンサーの電圧を出す。
電池や抵抗につながっている部分を島に選んでしまう誤り。例えば P 側の導線は抵抗を通じて電池とつながっていて、スイッチ以外からも電荷が出入りする。そのため、そこの電気量の変化はスイッチを通過した電気量と等しくならない。正しくは、スイッチ以外では極板にしかつながっていない側（例題では Q 側）を選ぶ。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
起電力 で内部抵抗の無視できる電池、抵抗値 , の抵抗、電気容量 , のコンデンサー、スイッチ を使って、次のような回路をつくる。
電池の正極を点 に、負極を点 につなぐ。 と のあいだには、 の側から , の順に直列につないだ抵抗の枝と、 の側から , の順に直列につないだコンデンサーの枝が並列につながれている。 と のあいだの点を 、 と のあいだの点を とし、スイッチ は と のあいだにつながれている。
はじめ は開いていて、2 つのコンデンサーには電荷が蓄えられていなかった。この状態で回路をつないで十分に時間がたったあと、 を閉じ、再び十分に時間がたった。 を閉じてから十分に時間がたつまでに、 を から の向きに通過した電気量は何 か。導線の抵抗は無視する。
起電力 の電池、抵抗値 の抵抗 と の抵抗 、電気容量 のコンデンサー と のコンデンサー 、スイッチ で次の回路をつくる。
はじめ は開いていて、コンデンサーには電荷がなかった。電池をつないで十分に時間がたったあと、 を閉じ、再び十分に時間がたった。 を閉じてから十分に時間がたつまでに、 を通過した電気量の大きさは何 か。ただし、電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視する。
起電力 で内部抵抗の無視できる電池、抵抗値 , の抵抗、電気容量 , のコンデンサー、スイッチ で次の回路をつくる。
電池の正極を点 に、負極を点 につなぐ。 と のあいだに、 側から順に , を直列につなぎ、 と のあいだの点を とする。また、 と のあいだに、 側から順に , を直列につなぎ、 と のあいだの点を とする。スイッチ は と のあいだにつなぐ。
はじめ は開いていて、電池をつなぐ前の , には電荷がなかった。電池をつないで十分に時間がたったのち、 を閉じて再び十分に時間がたった。 を閉じてから十分に時間がたつまでに、 を から の向きに通過した電気量は何 か。導線の抵抗は無視できるものとする。