電流と回路の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電流と回路

起電力 $8.0 V$ で内部抵抗の無視できる電池、抵抗値 $30 Ω$ の抵抗 $R_{1}$ 、抵抗値 $10 Ω$ の抵抗 $R_{2}$ 、抵抗値 $50 Ω$ の抵抗 $R_{3}$ 、電気容量 $2.0 μ F$ のコンデンサー $C$ がある。電池の正極を $R_{1}$ の一端 $P$ に、 $R_{1}$ の他端 $Q$ を $R_{2}$ の一端につなぎ、 $R_{2}$ の他端を電池の負極につないだ。さらに、 $R_{3}$ と $C$ を直列につないだものを、点 $P$ と点 $Q$ の間に（ $R_{1}$ と並列になるように）つないだ。はじめ $C$ には電荷が蓄えられていなかった。回路をつないでから十分に時間がたったとき、 $C$ に蓄えられている静電エネルギーは何 $J$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、導線の抵抗は無視できるものとする。

P

Q

8.0 V

R_{1}

（

30 Ω

）

R_{2}

（

10 Ω

）

R_{3}

（

50 Ω

）

C

（

2.0 μ F

）

この問題で使うもの

コンデンサーを含む直流回路（定常状態）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「コンデンサーを含む直流回路（定常状態）」を使います。十分に時間がたつと、コンデンサーを含む枝には電流が流れないことに注目しましょう。

ヒント 2

$R_{3}$ と $C$ の枝に電流が流れないので、 $R_{3}$ での電圧降下は 0 です。 $C$ の電圧は $R_{1}$ の両端の電圧と等しくなります。静電エネルギーは $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ です。

ヒント 3

電流は $R_{1}$ と $R_{2}$ だけを流れるので $I = \frac{8.0}{30 + 10} = 0.20 A$ 、 $R_{1}$ の電圧は $30 \times 0.20 = 6.0 V$ です。

答えと解説

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3.6 \times 1 0^{- 5}

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解説を読む

手順 1：コンデンサーを含む枝の電流を考える

十分に時間がたつと、 $C$ の充電が終わるので、 $C$ を含む枝（ $R_{3}$ と $C$ の直列部分）には電流が流れなくなる。そのため、電流は電池 $\to R_{1} \to R_{2}$ の経路だけを流れる。

手順 2：回路の電流を求める

$R_{1}$ と $R_{2}$ は直列なので、合成抵抗は
$30 + 10 = 40 Ω$
となる。オームの法則より、流れる電流 $I$ は
$I = \frac{8.0}{40} = 0.20 A$

手順 3：コンデンサーの電圧を求める

$R_{1}$ の両端 $PQ$ 間の電圧は
$V_{1} = 30 \times 0.20 = 6.0 V$
$R_{3}$ には電流が流れないので、 $R_{3}$ での電圧降下は $50 \times 0 = 0 V$ である。よって、 $C$ の両端の電圧 $V$ は $PQ$ 間の電圧に等しく
$V = 6.0 V$

手順 4：静電エネルギーを求める

$U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 1 0^{- 6}) \times (6.0)^{2} = 3.6 \times 1 0^{- 5} J$

よって、答えは $3.6 \times 1 0^{- 5} J$ である。

別解

十分に時間がたつとコンデンサーに電流は流れないので、 $R_{3}$ には電流が流れず、電圧降下は 0 である。電流は電池 → $R_{1}$ → $R_{2}$ → 電池の経路だけを流れる。

電流は $I = \frac{8.0}{30 + 10} = 0.20 A$ である。

$R_{1}$ の両端の電圧は $V_{1} = 30 \times 0.20 = 6.0 V$ である。

$R_{3}$ に電圧降下がないので、 $C$ の電圧は点 P, Q 間の電圧 $V_{1}$ に等しく、 $V = 6.0 V$ である。

静電エネルギーは $U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 1 0^{- 6} \times 6. 0^{2} = 3.6 \times 1 0^{- 5} J$ である。

検算: $Q = C V = 1.2 \times 1 0^{- 5} C$ より $U = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 1 0^{- 5} \times 6.0 = 3.6 \times 1 0^{- 5} J$ となり、一致する。

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