電場と電位・コンデンサー（知識）の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理電場と電位・コンデンサー（知識）

極板の面積が $S$ 、極板の間隔が $d$ の平行板コンデンサーがあり、極板間ははじめ真空である。このコンデンサーを起電力 $V$ の電池につないで十分に充電した。以下のア〜カでは、コンデンサーを電池につないだまま、文中に書かれた変更を 1 つだけ行い、十分に時間がたった後の状態を変更前と比べるものとする。ただし、極板の間隔は極板の大きさに比べて十分小さく、極板間の電場は一様とみなす。また、誘電体は比誘電率 $ε_{r}$ （ $ε_{r} > 1$ ）の一様な物質で、極板間にすき間なく入れるものとする。

このコンデンサーについて述べた文として正しいものを、次のア〜カのうちからすべて選べ。

ア　極板間を誘電体で満たすと、コンデンサーの電気容量は $ε_{r}$ 倍になる。
イ　極板間を誘電体で満たすと、極板間の電場の強さは $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍になる。
ウ　極板の間隔を変えずに極板の面積を $2$ 倍にすると、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは $2$ 倍になる。
エ　極板の面積を変えずに極板の間隔を $2$ 倍にすると、コンデンサーに蓄えられる電気量は $2$ 倍になる。
オ　コンデンサーの電気容量は、極板に蓄えられた電気量が大きいほど大きくなるので、電池の起電力を $2$ 倍に変えると電気容量も $2$ 倍になる。
カ　極板間を誘電体で満たすと、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは $ε_{r}$ 倍になる。

この問題で使うもの

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ヒント

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ヒント 1

平行板コンデンサーの電気容量が面積・間隔・誘電率でどう決まるかと、 $Q = C V$ 、 $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ を使おう。

ヒント 2

電池につないだままなので、どの変更でも極板間の電圧は $V$ のまま変わらない。電気容量は電気量や電圧によらない。

ヒント 3

電場の強さは $E = \frac{V}{d}$ で考えると、誘電体を入れても $V$ と $d$ が変わらないことに気づく。正しいものは 3 つある。

答えと解説

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ア, ウ, カ

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解説を読む

使う事実は次のとおりである。
- 平行板コンデンサーの電気容量は $C = ε \frac{S}{d}$ （ $ε$ は極板間の物質の誘電率）で、面積 $S$ に比例し、間隔 $d$ に反比例する。誘電体で満たすと $ε = ε_{r} ε_{0}$ となり、電気容量は $ε_{r}$ 倍になる。電気容量は極板の形と極板間の物質だけで決まり、電気量や電圧にはよらない。
- $Q = C V$ 、静電エネルギーは $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ 、極板間の電場は $E = \frac{V}{d}$ 。
- 電池につないだままなので、極板間の電圧はつねに $V$ のままである。

ア（正しい）　 $C = ε \frac{S}{d}$ で誘電率が $ε_{r}$ 倍になるので、電気容量は $ε_{r}$ 倍になる。

イ（誤り）　電池につないだままなので電圧は $V$ 、間隔も $d$ のままである。 $E = \frac{V}{d}$ より、電場の強さは変わらない（ $1$ 倍）。電場が $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍になるのは、電池から切り離して電気量を一定にした場合である。

ウ（正しい）　面積を $2$ 倍にすると $C$ は $2$ 倍になる。電圧は $V$ のままなので、 $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ は $2$ 倍になる。

エ（誤り）　間隔を $2$ 倍にすると $C$ は $\frac{1}{2}$ 倍になる。電圧は $V$ のままなので、 $Q = C V$ は $\frac{1}{2}$ 倍になる（ $2$ 倍ではない）。

オ（誤り）　電気容量は極板の面積・間隔・極板間の物質だけで決まり、電気量や電圧にはよらない。起電力を $2$ 倍にすると電気量 $Q = C V$ は $2$ 倍になるが、電気容量は変わらない。

カ（正しい）　誘電体で満たすと $C$ は $ε_{r}$ 倍、電圧は $V$ のままなので、 $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ は $ε_{r}$ 倍になる。

よって、正しいものはア, ウ, カである。

別解

電池につないだままなので、極板間の電圧は $V$ で一定。電気容量 $C = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d}$ (真空では $ε_{r} = 1$ )、電気量 $Q = C V$ 、静電エネルギー $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ 、極板間の電場 $E = \frac{V}{d}$ である。

ア: 誘電体で満たすと $C$ は $ε_{r}$ 倍になる。正しい。
イ: $V$ も $d$ も変わらないので $E = V / d$ は変わらない(1 倍)。 $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍にはならない。誤り。(電荷が一定のときに成り立つ内容と混同した選択肢)
ウ: $S$ を 2 倍にすると $C$ が 2 倍、 $V$ は一定なので $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ は 2 倍。正しい。
エ: $d$ を 2 倍にすると $C$ は $\frac{1}{2}$ 倍、 $Q = C V$ も $\frac{1}{2}$ 倍。2 倍にはならない。誤り。
オ: 電気容量は極板の形状・間隔・間にある物質だけで決まり、 $Q$ や $V$ には依存しない。起電力を 2 倍にしても $C$ は変わらない。誤り。
カ: $C$ が $ε_{r}$ 倍、 $V$ 一定なので $U$ も $ε_{r}$ 倍。正しい。

よって正しいのはア, ウ, カ。

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