空乏層の幅と接合容量

空乏近似とポアソン方程式（ガウスの法則）から、階段接合の空乏層の幅 $W = \frac{2 ε ( V _{bi} - V )}{q} (\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}})$ と単位面積あたりの接合容量 $ε / W$ を求められる

前提

pn 接合の拡散電位（大学物理電子回路・半導体デバイス）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）

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説明

pn 接合の境界付近にはキャリアがほとんどなく、イオン化した不純物の電荷だけが残る領域（空乏層）ができます。空乏層の電荷分布を単純な長方形で近似し、ガウスの法則で電場、電場の積分で電位差を求めると、階段接合（p 側・n 側の不純物密度がそれぞれ一様で境界で急に切り替わる接合）の空乏層の幅 $W = \frac{2 ε ( V _{bi} - V )}{q} (\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}})$ が得られます。さらに、加える電圧で空乏層の電荷が変わることから、単位面積あたりの接合容量 $\frac{ε}{W}$ も求められます。逆バイアスで容量が変わる性質は、可変容量ダイオードや、容量の測定から不純物密度を調べる方法に使われます。

なぜそうしてよいのか

接合面を $x = 0$ とし、p 側を $x < 0$ 、n 側を $x > 0$ とします。空乏近似では、 $- x_{p} < x < 0$ に密度 $- q N_{A}$ 、 $0 < x < x_{n}$ に密度 $+ q N_{D}$ の電荷だけがあり、その外側は電荷のない中性領域（電場 $0$ ）と考えます。接合全体では電荷が打ち消し合うので、単位面積あたりで $q N_{A} x_{p} = q N_{D} x_{n}$ が成り立ちます。不純物が薄い側ほど空乏層が深く広がるわけです。

電場は $x$ 方向だけで、外側では $0$ です。 $x = - x_{p}$ から $x$ までを囲む底面積 $S$ の箱にガウスの法則を使うと $εE (x) S = - q N_{A} (x + x_{p}) S$ で、電場は p 側の端の $0$ から直線的に大きさを増し、 $x = 0$ で大きさが最大 $E_{m a x} = \frac{q N _{A} x _{p}}{ε} = \frac{q N _{D} x _{n}}{ε}$ になり、そこから n 側の端に向かって直線的に $0$ に戻ります（向きは n 側から p 側、つまり $- x$ 向き）。n 側から p 側への電位差は電場を積分したもの、すなわち電場の大きさのグラフ（底辺 $W = x_{p} + x_{n}$ 、高さ $E_{m a x}$ の三角形）の面積で、 $\frac{1}{2} E_{m a x} W$ です。

この電位差は、熱平衡では拡散電位 $V_{bi}$ 、p 側を正として電圧 $V$ を加えると $V_{bi} - V$ になります（順方向 $V > 0$ で減り、逆方向 $V < 0$ で増える）。 $x_{n} = \frac{N _{A}}{N _{A} + N _{D}} W$ を使うと $E_{m a x} = \frac{q}{ε} \frac{N _{A} N _{D}}{N _{A} + N _{D}} W$ なので
$V_{bi} - V = \frac{q}{2 ε} \frac{N _{A} N _{D}}{N _{A} + N _{D}} W^{2} ⟹ W = \frac{2 ε ( V _{bi} - V )}{q} (\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}})$
となります。単位面積あたりの空乏層の電荷は $Q = q N_{D} x_{n} = ε E_{m a x} = \frac{2 ε ( V _{bi} - V )}{W}$ で、 $W$ は $V_{bi} - V$ に比例するので $Q$ も $V_{bi} - V$ に比例します。電圧をわずかに変えたときの電荷の変化の割合 $\frac{d Q}{d V} = \frac{Q}{2 ( V _{bi} - V )} = \frac{ε}{W}$ が単位面積あたりの接合容量です。これは、間隔 $W$ の平行板コンデンサーの単位面積あたりの容量と同じ形です。空乏層の端で電荷が出入りするので、極板の間隔が $W$ のコンデンサーとみなせるのです。

手順

拡散電位 $V_{bi}$ と加える電圧 $V$ （p 側を正とする向きを正、逆バイアスなら $V < 0$ ）から、空乏層にかかる電位差 $V_{bi} - V$ を求める
単位をそろえて（密度は $m^{- 3}$ 、誘電率は $F/m$ ）、 $\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}}$ を計算する
$W = \frac{2 ε ( V _{bi} - V )}{q} (\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}})$ に代入して空乏層の幅を求める
必要なら、各側への広がり $x_{n} = \frac{N _{A}}{N _{A} + N _{D}} W$ 、 $x_{p} = \frac{N _{D}}{N _{A} + N _{D}} W$ や最大電場 $E_{m a x} = \frac{2 ( V _{bi} - V )}{W}$ を求める
単位面積あたりの接合容量を $\frac{C}{S} = \frac{ε}{W}$ で求める（面積 $S$ の接合なら $C = \frac{εS}{W}$ ）

例題

階段接合の pn 接合があり、アクセプター密度は $N_{A} = 4.0 \times 1 0^{22} m^{- 3}$ 、ドナー密度は $N_{D} = 1.0 \times 1 0^{22} m^{- 3}$ 、半導体の誘電率は $ε = 1.0 \times 1 0^{- 10} F/m$ 、拡散電位は $V_{bi} = 0.80 V$ 、電気素量は $q = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする。この接合に大きさ $5.6 V$ の逆バイアス電圧を加えた（p 側を正とする向きに測って $V = - 5.6 V$ ）。空乏近似が成り立つとして、単位面積あたりの接合容量は何 $F/ m^{2}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 空乏層にかかる電位差は $V_{bi} - V = 0.80 - (- 5.6) = 6.4 V$ 。

手順 2: $\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}} = \frac{1}{4.0 \times 1 0 ^{22}} + \frac{1}{1.0 \times 1 0 ^{22}} = 2.5 \times 1 0^{- 23} + 1.0 \times 1 0^{- 22} = 1.25 \times 1 0^{- 22} m^{3}$ 。

手順 3:
$W^{2} = \frac{2 \times ( 1.0 \times 1 0 ^{- 10} ) \times 6.4}{1.6 \times 1 0 ^{- 19}} \times 1.25 \times 1 0^{- 22} = 8.0 \times 1 0^{9} \times 1.25 \times 1 0^{- 22} = 1.0 \times 1 0^{- 12} m^{2}$
よって $W = 1.0 \times 1 0^{- 6} m = 1.0 μ m$ 。

手順 4: （参考）不純物の薄い n 側に $x_{n} = \frac{4.0}{5.0} W = 0.80 μ m$ 、p 側に $x_{p} = 0.20 μ m$ 広がっている。

手順 5: 単位面積あたりの接合容量は $\frac{ε}{W} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 10}}{1.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.0 \times 1 0^{- 4} F/ m^{2}$ 。

答え: $1.0 \times 1 0^{- 4}$

よくある誤り

逆バイアスの電圧の符号を取り違えて、 $V_{bi} - V$ を $0.80 - 5.6 < 0$ のように計算してしまう誤り。p 側を正とする向きに測った電圧 $V$ は逆バイアスでは負なので、正しくは $V_{bi} - V = 0.80 + 5.6 = 6.4 V$ で、逆バイアスほど空乏層は広がり容量は小さくなる。
$\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}}$ を $\frac{1}{N _{A} + N _{D}}$ としてしまう誤り。電位差は $\frac{q}{2 ε} \frac{N _{A} N _{D}}{N _{A} + N _{D}} W^{2}$ なので、正しくは $\frac{N _{A} + N _{D}}{N _{A} N _{D}} = \frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}}$ で、不純物の薄い側の密度がほぼ $W$ を決める。
電場の大きさを空乏層全体で一定の $E = \frac{V _{bi} - V}{W}$ として、 $V_{bi} - V = E_{m a x} W$ とおいてしまう誤り。空乏層の中には電荷があるので電場は一様ではなく、接合面で最大の三角形の分布になる。正しくは $V_{bi} - V = \frac{1}{2} E_{m a x} W$ で、 $E_{m a x} = \frac{2 ( V _{bi} - V )}{W}$ 。
接合容量を、空乏層の電荷と電圧の比 $\frac{Q}{V _{bi} - V}$ としてしまう誤り。 $Q$ は $V_{bi} - V$ に比例するので比は一定にならず、 $\frac{Q}{V _{bi} - V} = \frac{2 ε}{W}$ と 2 倍の値になる。接合容量は電圧を少し変えたときの電荷の変化の割合で、正しくは $\frac{d Q}{d V} = \frac{ε}{W}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
誘電率 $ε$ の半導体でできた階段形の pn 接合がある（図）。p 形領域のアクセプタ濃度と n 形領域のドナー濃度はどちらも同じ値 $N$ で、それぞれの領域で一様である。この接合の拡散電位は $V_{bi}$ で、外部から電圧は加えない。電気素量を $q$ とする。空乏近似（空乏層の中では自由キャリアがなく、イオン化した不純物の電荷だけがあり、空乏層の外では電荷が $0$ である）が成り立つとき、空乏層の幅 $W$ （p 側と n 側に広がった空乏層の幅の合計）を $ε$ , $V_{bi}$ , $q$ , $N$ を用いて表せ。
p 形 $N_{A} = N$ n 形 $N_{D} = N$ 接合面
階段形 pn 接合（模式図）

空乏層の幅と接合容量

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題