電子回路・半導体デバイスの問題

温度 $300\mathrm{K}$ のシリコンでできた階段形の ${\mathrm{p}}^{+}\mathrm{n}$ 接合ダイオードがある。p 側のアクセプタ濃度 $N_A$ は n 側のドナー濃度 $N_D$ よりも十分に大きい。どちらの濃度も一様であるが、値はわかっていない。接合面積は $A=1.0\times 10^{-3}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ である。

図のように、n 側が p 側より高電位になる向きに逆方向電圧 $V_R$ を加えて、空乏層容量 $C$ を測定した。結果は次のとおりであった。

• $V_R=1.2\mathrm{V}$ のとき $C=16.0\mathrm{pF}$
• $V_R=7.2\mathrm{V}$ のとき $C=8.0\mathrm{pF}$

次の仮定と値を用いる。

• 片側階段接合とみなし、空乏層は n 側にだけ広がるとする。
• 空乏層の中では自由キャリアが完全になくなるとし（完全空乏近似）、不純物はすべてイオン化しているとする。
• 空乏層容量は、空乏層の幅を $W$ として平行平板の式 $C={\epsilon }_{s}A/W$ で表されるとする。
• 拡散電位は $V_{bi}=\frac{kT}{q}\log \frac{N_A{N}_D}{n_i^2}$ で表されるとする。
• 電気素量 $q=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、シリコンの誘電率 ${\epsilon }_s=1.04\times 10^{-10}F/m$、$kT/q=0.0259\mathrm{V}$、真性キャリア密度 $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ とする。

測定結果から、p 側のアクセプタ濃度 $N_A$ を $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ 単位で求め、有効数字 2 桁で答えよ。

図のように、アクセプタ濃度 $N_A=1.0\times 10^{17}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の p 形領域とドナー濃度 $N_D=1.0\times 10^{15}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の n 形領域からなるシリコンの階段型 pn 接合がある。外部から電圧を加えていない熱平衡状態での空乏層の幅 $W$ は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、室温（300 K 付近）での熱電圧を $kT/q=0.026\mathrm{V}$、シリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、シリコンの比誘電率を $11.7$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $q=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。不純物はすべてイオン化しており、空乏層の中には自由キャリアがなく（空乏近似）、空乏層の外は電気的に中性であるとする。拡散電位 $V_{bi}$ は $V_{bi}=\frac{kT}{q}\log \frac{N_A{N}_D}{n_i^2}$ で求めるものとする。

温度 $300\mathrm{K}$ のシリコンで、アクセプタ濃度 $N_A=1.0\times 10^{18}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の p 形領域と、ドナー濃度 $N_D=1.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の n 形領域が接した階段形の pn 接合がある。外部から電圧を加えない熱平衡状態での空乏層の幅（p 側と n 側の空乏層の幅の和）$W$ は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、不純物はすべてイオン化しており、空乏層近似（空乏層内にはキャリアがなく、外では電荷が中性）が成り立つとする。シリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、比誘電率を $11.7$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-14}F/cm$、電気素量を $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、熱電圧を $kT/q=0.0259\mathrm{V}$ とする。

室温 $300\mathrm{K}$ のシリコン結晶にドナーだけを濃度 $N_D=5.0\times 10^{15}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した。これを長さ $L=2.0\mathrm{mm}$、幅 $0.50\mathrm{mm}$、厚さ $0.10\mathrm{mm}$ の直方体に切り出し、図のように長さ方向の両端面全体に電極（抵抗は無視できる）を付けて、長さ方向に電流を流す。ドナーはすべてイオン化しているものとし、この温度でシリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子の移動度を ${\mu }_n=1250\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、正孔の移動度を ${\mu }_p=450\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。熱平衡状態にあり、電流は試料の断面を一様に流れるものとする。この試料の両電極間の電気抵抗は何 $\Omega$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

出力電圧を変えられる直流電源、シリコンの pn 接合ダイオード、電流計の 3 つを 1 つの輪になるように直列につなぐ。ダイオードの p 側（アノード）を電源の正極側に、n 側（カソード）を電流計を通して電源の負極側につなぎ、ダイオードに順方向電圧 $V$ を加えて、回路を流れる電流 $I$ を電流計で測定する。

ダイオードの電流電圧特性は理想ダイオードの式
$$I=I_s\left\{\exp \left(\frac{V}{V_T}\right)-1\right\}$$
（$I_s$ は逆方向飽和電流）に従い、熱電圧は $V_T=25\mathrm{mV}$ で温度は一定とする。また、測定する範囲では $\exp (V/V_T)\gg 1$ であり、電流計の内部抵抗やダイオードの直列抵抗、導線の抵抗は無視できるものとする。

はじめ順方向電流は $I_1=0.50\mathrm{mA}$ であった。電流を $I_2=4.0\mathrm{mA}$ にするには、ダイオードの両端の順方向電圧を何 $\mathrm{mV}$ 大きくすればよいか。自然対数 $\log$ を用いた正確な値で求めよ。