電場の線積分と電位差

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球があり、その内部に全電荷 $Q$（$Q>0$）が一様に分布している。球の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。O からの距離を $r$ とすると、電場は O から放射状外向きで、その大きさは
$$E(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}& (0\leqq r\leqq a)\\ \frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}& (r\geqq a)\end{array}$$
である。

無限遠を電位の基準（電位 $0$）とするとき、中心 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ を $Q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

半径 $a$（$a>0$）の導体球と、それと中心を共有する内半径 $3a$ の薄い導体球殻からなる球形コンデンサーがある。導体球と導体球殻の間 $a<r<3a$（$r$ は中心からの距離）は、誘電率が
$$\epsilon (r)={\epsilon }_0\frac{r}{a}$$
で表される等方的な線形誘電体で満たされている。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。SI 単位系を用いる。

このコンデンサーの電気容量を ${\epsilon }_0,a$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、$x$ 軸に垂直な無限に広い平板状の領域 $-d\leqq x\leqq d$（$d>0$）があり、この領域の内部にだけ電荷が分布している。電荷密度は $x$ だけの関数で、$$\rho (x)={\rho }_0\frac{x^2}{d^2}(-d\leqq x\leqq d)$$ である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部に電荷はない。外部から加えた電場はなく、電場はこの電荷分布だけがつくるものとする。したがって電場は $x$ 成分 $E(x)$ だけをもち、平面 $x=0$ に関して対称（$E(-x)=-E(x)$）である。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。平面 $x=0$ 上の点の電位を $\varphi (0)$、平面 $x=d$ 上の点の電位を $\varphi (d)$ とするとき、電位差 $\varphi (0)-\varphi (d)$ を ${\rho }_0$, $d$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中（誘電率 ${ϵ}_0$）に、2 枚の平面 $x=-d$ と $x=d$ ではさまれた、$y$ 方向と $z$ 方向に無限に広い板状の領域がある（$d>0$）。この領域の内部にだけ電荷が分布しており、その体積密度は
$$\rho (x)={\rho }_0\left(1-\frac{x^2}{d^2}\right)(-d\leqq x\leqq d)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部 $|x|>d$ に電荷はない。原点を O、$x$ 軸上の $x=2d$ の点を P とする。

点 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ と点 P の電位 $V_{\mathrm{P}}$ の差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、${\rho }_0,d,{ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の球がある。この球の内部から、中心 $\mathrm{C}$、半径 $b$ の球形の部分をくりぬいて空洞にした。ただし $\mathrm{OC}=d$ であり、$0<b<d$、$d+b<R$ とする（空洞は球の内部にあり、点 $\mathrm{O}$ は空洞の外にある）。空洞を除いた部分には、一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で電荷が分布しており、空洞の中は真空である。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{C}$ の電位差 $\varphi (\mathrm{O})-\varphi (\mathrm{C})$ を、$\rho ,b,d,{\epsilon }_0$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸を共通の中心軸とする、半径 $a$ の導体円柱（内導体）と内半径 $b(b>a)$ の導体円筒（外導体）からなる、長さ $L$ のまっすぐな同軸ケーブルがある。内導体と外導体のあいだは真空である。ケーブルの一端には直流電源が、他端には抵抗がつながれていて、内導体の電位は外導体より $V(V>0)$ だけ高く保たれ、内導体には $z$ 軸の正の向きに、外導体には負の向きに、それぞれ大きさ $I(I>0)$ の一定の電流が流れている。

ケーブルの両端付近の場の乱れは無視し、内導体と外導体のあいだ（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）の電場と磁場は、十分長い同軸ケーブルの静的な場と同じであるとする。また、導体の抵抗は無視でき、両導体の電位はそれぞれ長さ方向に一定とみなす。真空の誘電率と透磁率を ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

電磁場の運動量密度を $\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ として、内導体と外導体のあいだの領域（$a<r<b$、長さ $L$）にある電磁場の運動量の大きさを、$V$, $I$, $L$, $c$ を用いて表せ。