電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、半径 $a$ の長い導体円柱と、それと中心軸を共有する内半径 $b$（$b>a>0$）の薄い導体円筒からなる同軸円筒コンデンサーがある。長さは $L$ で、$L$ は $a$, $b$ にくらべて十分に長いので、端の効果は無視し、電場は中心軸からの距離 $r$ だけで決まり中心軸から放射状に向くものとする。円柱と円筒の間は真空で、真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱に電荷 $Q$、円筒に電荷 $-Q$（$Q>0$）を与えたとき、このコンデンサーの静電容量 $C$ を $a$, $b$, $L$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。$\mathrm{O}$ からの距離が $3a$ の点 $\mathrm{P}$ に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。導体球の表面のうち $\mathrm{P}$ に最も近い点を $\mathrm{A}$ とする（$\mathrm{A}$ は線分 $\mathrm{OP}$ 上にある）。静電平衡の状態で、点 $\mathrm{A}$ における導体球の表面電荷密度を、$q$, $a$ を用いて表せ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。

真空中に、中心 O、内半径 $a$、外半径 $2a$（$a>0$）の厚い球殻があり、球殻の部分 $a\leqq r\leqq 2a$（$r$ は O からの距離）にだけ、正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。O からの距離が $\frac{3}{2}a$ の点 P での電場の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、球殻の部分の誘電率も ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。

真空中に、中心軸を共有する 2 本の十分に長い導体の管（厚さの無視できる円筒）からなる同軸ケーブルがある。内側の管の半径は $a$、外側の管の半径は $b$ である。両管のあいだは 2 種類の磁性体で満たされている。$a<r<c$ の部分（$r$ は中心軸からの距離）は比透磁率 ${\kappa }_1$ の磁性体、$c<r<b$ の部分は比透磁率 ${\kappa }_2$ の磁性体である（$0<a<c<b$）。どちらの磁性体も一様・等方的・線形で、${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$ は正の定数とする。

内側の管に電流 $I$（$I>0$）を中心軸の向きに流し、外側の管で同じ大きさの電流を逆向きに戻す。電流はそれぞれの管の周方向に一様に分布する。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、ケーブルの端の影響は無視する。

このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス $L$ を求めよ。ただし $L$ は、中心軸を含む平面上で $a<r<b$、軸方向の長さ $1$ の長方形を貫く磁束を $\Phi$ として、$L=\Phi /I$ で定める。答えは ${\mu }_0$, ${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$, $a$, $b$, $c$ を用いて表せ。

真空中に、面積 $S$ の 2 枚の極板を間隔 $d$ で平行に置いた平行板コンデンサーがある。極板の間に、厚さ $t$（$0<t<d$）、比誘電率 ${\epsilon }_r$（${\epsilon }_r>1$）の一様で等方的な線形誘電体の板を、極板と平行に、極板と同じ面積で挿入した。誘電体の板と極板の間のすき間は真空である。極板の間に電池をつないで電位差 $V$（$V>0$）を保つ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とし、極板の端の効果は無視して、電場は極板に垂直で各領域で一様とする。このとき、誘電体の板の表面（極板に平行な面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、${\epsilon }_0,{\epsilon }_r,V,d,t$ を用いて表せ。