コンデンサーの静電エネルギー

$U = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ を使い、電池につないだまま（ $V$ 一定）・切り離した（ $Q$ 一定）状態で極板間隔などを変えた後の静電エネルギーを求められる

前提

コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）

この技能までの道筋（53 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）

説明

コンデンサーに電荷がたまっているとき、そこにはエネルギー（静電エネルギー）が蓄えられています。この技能では、その大きさを $U = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ で求めます。極板間隔を変えたり誘電体を入れたりしたあとのエネルギーも求められるようになります。そのとき、電池につないだまま（ $V$ 一定）か、切り離したか（ $Q$ 一定）によって、使いやすい式が変わります。

なぜそうしてよいのか

電気容量 $C$ のコンデンサーを、電荷 $0$ の状態から少しずつ充電していく場面を考えます。極板にすでに電荷 $q$ がたまっているとき、極板間の電位差は $v = \frac{q}{C}$ です。ここで、さらに小さな電荷 $Δ q$ を負極板から正極板へ運ぶとします。電位差 $v$ の間で電荷を運ぶので、必要な仕事は $v Δ q$ です。 $q$ が増えるほど $v$ も比例して大きくなるので、後から運ぶ電荷ほど多くの仕事が必要になります。

横軸に $q$ 、縦軸に $v$ をとると、グラフは原点を通る直線 $v = \frac{q}{C}$ になります。小さな仕事 $v Δ q$ は、このグラフの下にある細い長方形の面積です。これを $q = 0$ から $q = Q$ まで足し合わせると、底辺 $Q$ 、高さ $V$ の三角形の面積になります。よって、充電に必要な仕事の合計は $\frac{1}{2} Q V$ です。この仕事が静電エネルギー $U$ として蓄えられます。最後の電圧 $V$ をそのまま使って $Q V$ とすると、はじめから電圧 $V$ がかかっていたことになってしまいます。電圧が $0$ から $V$ へ一様に増えるので、平均の $\frac{V}{2}$ を使う、と考えてもかまいません。

$Q = C V$ を代入すると $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ が得られます。また $V = \frac{Q}{C}$ を代入すると $U = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ が得られます。3 つの式は同じ量を表しています。変化の前後で一定に保たれる量（ $V$ または $Q$ ）と新しい $C$ だけで書ける式を選ぶと、計算が簡単になり間違いも減ります。 $C$ の単位が F、 $V$ の単位が V、 $Q$ の単位が C のとき、 $U$ の単位は J です。

手順

状況を判断する。電池につないだままなら $V$ が一定、電池から切り離したなら $Q$ が一定（電荷の逃げ道がないので、電気量保存の法則による）。
変化させる前の $C$ , $Q$ , $V$ を確認する。必要なら $Q = C V$ で求める。
変化後の電気容量 $C^{'}$ を $C = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d}$ から求める（例：間隔が $k$ 倍なら $C^{'} = \frac{C}{k}$ 、比誘電率 $ε_{r}$ の誘電体をすき間なく満たせば $C^{'} = ε_{r} C$ ）。
一定に保たれる量と $C^{'}$ で表せる式を選んで $U^{'}$ を求める。 $V$ 一定なら $U^{'} = \frac{1}{2} C^{'} V^{2}$ 、 $Q$ 一定なら $U^{'} = \frac{Q ^{2}}{2 C ^{'}}$ 。

例題

真空中に置かれた電気容量 $C$ の平行板コンデンサーを、電圧 $V$ の電池につないで十分に充電した。その後、電池を切り離し、極板の面積は変えずに極板間隔だけをもとの 2 倍に広げた。広げたあとのコンデンサーの静電エネルギーを、 $C$ , $V$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順1：電池を切り離しているので、極板の電荷の逃げ道がありません。よって電気量 $Q$ は一定です。
手順2：充電直後の電気量は $Q = C V$ です。
手順3： $C = ε_{0} \frac{S}{d}$ で $d$ が 2 倍になるので、新しい電気容量は $C^{'} = \frac{C}{2}$ です。
手順4： $Q$ が一定なので、 $U^{'} = \frac{Q ^{2}}{2 C ^{'}}$ を使います。
$U^{'} = \frac{( C V ) ^{2}}{2 \cdot \frac{C}{2}} = \frac{C ^{2} V ^{2}}{C} = C V^{2}$
（確かめ：はじめのエネルギーは $\frac{1}{2} C V^{2}$ なので、エネルギーは 2 倍になりました。極板どうしは引き合っているので、広げるときに外から加えた仕事の分だけエネルギーが増えたことになり、つじつまが合います。）

答え: $C V^{2}$

よくある誤り

電池を切り離したあとも、もとの電圧 $V$ を使って $U^{'} = \frac{1}{2} C^{'} V^{2}$ と計算してしまう誤り。切り離すと電圧は $V^{'} = \frac{Q}{C ^{'}}$ に変わる（上の例では $V^{'} = 2 V$ ）。正しくは、一定の $Q$ を使って $U^{'} = \frac{Q ^{2}}{2 C ^{'}}$ とする。
$\frac{1}{2}$ を落として $U = Q V$ としてしまう誤り。充電の途中は電圧が $0$ から $V$ へ増えていくので、正しくは $U = \frac{1}{2} Q V$ 。
電池につないだまま間隔を 2 倍にしたのに、 $Q$ が一定だと考えて $U^{'} = \frac{Q ^{2}}{2 C ^{'}} = C V^{2}$ （増える）としてしまう誤り。電池につないだままなら $V$ が一定なので、正しくは $U^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{C}{2} V^{2} = \frac{1}{4} C V^{2}$ （減る）。
電池が充電でした仕事 $Q V$ が、すべて静電エネルギーになると考えてしまう誤り。実際に蓄えられるのは $\frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2}$ だけで、残りの $\frac{1}{2} C V^{2}$ は導線の抵抗でジュール熱などとして失われる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

コンデンサーの直列・並列接続（高校物理電場と電位・コンデンサー）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））