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電場と電位・コンデンサーの問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理電場と電位・コンデンサー

電気容量 $C$ のコンデンサー $C_{1}$ と電気容量 $2 C$ のコンデンサー $C_{2}$ を直列につなぎ、その両端を電圧 $V$ の電池につないだ。また、 $C_{2}$ の両端には、スイッチ S を $C_{2}$ と並列につないである。はじめ S は開いており、 $C_{1}$ , $C_{2}$ は電荷をもっていなかった。

十分に時間がたった後、S を閉じた。S を閉じてから十分に時間がたつまでの間に、回路で発生したジュール熱の合計を、 $C$ , $V$ を用いて表せ。ただし、電池の内部抵抗は無視でき、エネルギーはジュール熱以外に失われないものとする。

V

C_{1}

（

C

）

C_{2}

（

2 C

）S

この問題で使うもの

コンデンサーの直列・並列接続（説明と入口の問題）
コンデンサーの静電エネルギー（説明と入口の問題）
電池の仕事とエネルギー収支（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（58 技能）

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ヒント

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ヒント 1

S を閉じる前後の静電エネルギーと、その間に電池がした仕事を求め、エネルギー保存を使おう。

ヒント 2

S を閉じると $C_{2}$ の電圧は $0$ になり、 $C_{1}$ に電池の電圧 $V$ がかかる。電池の仕事は $V \times (電池を通過した電気量)$ 。

ヒント 3

S を閉じる前の電気量は $\frac{2}{3} C V$ 、静電エネルギーは $\frac{1}{3} C V^{2}$ 。閉じた後は $C_{1}$ の電気量が $C V$ になる。

答えと解説

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\frac{1}{6} C V^{2}

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解説を読む

S を閉じる前

$C_{1}$ と $C_{2}$ の直列の合成容量は
$\frac{1}{C _{s}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2 C} = \frac{3}{2 C} ⟹ C_{s} = \frac{2}{3} C$
はじめ電荷がないので、直列のコンデンサーにはどちらも同じ電気量が蓄えられ、
$Q_{1} = C_{s} V = \frac{2}{3} C V$
静電エネルギーの和は
$U_{1} = \frac{1}{2} C_{s} V^{2} = \frac{1}{3} C V^{2}$

S を閉じて十分に時間がたった後

S によって $C_{2}$ の両端が導線でつながれるので、 $C_{2}$ の電圧は $0$ になり電荷を失う。 $C_{1}$ には電池の電圧 $V$ がそのままかかるので
$Q_{2} = C V, U_{2} = \frac{1}{2} C V^{2}$

電池がした仕事

電池の正極につながった $C_{1}$ の極板の電気量は $\frac{2}{3} C V$ から $C V$ に増えたので、この間に電池を通って送り出された電気量は
$Δ Q = C V - \frac{2}{3} C V = \frac{1}{3} C V$
電池の電圧は $V$ で一定なので、電池がした仕事は
$W = V Δ Q = \frac{1}{3} C V^{2}$

ジュール熱

エネルギー保存より、電池がした仕事は静電エネルギーの増加とジュール熱 $J$ の和に等しい:
$W = (U_{2} - U_{1}) + J$
$J = \frac{1}{3} C V^{2} - (\frac{1}{2} C V^{2} - \frac{1}{3} C V^{2}) = \frac{1}{3} C V^{2} - \frac{1}{6} C V^{2} = \frac{1}{6} C V^{2}$

別解

S を閉じる前: 直列の合成容量は $\frac{C \cdot 2 C}{C + 2 C} = \frac{2 C}{3}$ 。電気量は $Q = \frac{2 C}{3} V = \frac{2 C V}{3}$ 。 $C_{1}$ の電圧は $\frac{2 V}{3}$ 、 $C_{2}$ の電圧は $\frac{V}{3}$ 。
このときの静電エネルギーの合計は $U_{0} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 C}{3} V^{2} = \frac{C V ^{2}}{3}$ 。
S を閉じた後: $C_{2}$ は短絡されるので電気量が0になり、 $C_{1}$ に電池の電圧 $V$ がかかる。 $C_{1}$ の電気量は $C V$ 、静電エネルギーは $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ 。
電池を通過した電気量は $Δ Q = C V - \frac{2 C V}{3} = \frac{C V}{3}$ で、電池がした仕事は $W = V Δ Q = \frac{C V ^{2}}{3}$ 。
エネルギーの保存より、ジュール熱は $Q_{熱} = W - (U - U_{0}) = \frac{C V ^{2}}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) C V^{2} = \frac{C V ^{2}}{3} - \frac{C V ^{2}}{6} = \frac{C V ^{2}}{6}$ 。
検算: $C_{2}$ の静電エネルギー $\frac{1}{2} \cdot 2 C (\frac{V}{3})^{2} = \frac{C V ^{2}}{9}$ が失われ、 $C_{1}$ のエネルギーは $\frac{1}{2} C V^{2} - \frac{1}{2} C (\frac{2 V}{3})^{2} = \frac{5 C V ^{2}}{18}$ だけ増える。 $\frac{C V ^{2}}{3} + \frac{C V ^{2}}{9} - \frac{5 C V ^{2}}{18} = \frac{6 + 2 - 5}{18} C V^{2} = \frac{C V ^{2}}{6}$ となり一致する。

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