コンデンサーの直列・並列接続

合成容量（並列 $C_{1} + C_{2}$ 、直列 $\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}$ ）を求め、電池につないだときの各コンデンサーの電気量・電圧・静電エネルギーを求められる

前提

コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの直列接続・並列接続（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

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算数中学高校大学大学院

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コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの直列接続・並列接続（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））

説明

いくつかのコンデンサーを組み合わせた回路を、1 個のコンデンサー（合成容量）に置きかえて考えられるようになります。全体の電気量を求めたあと、回路をもとに戻しながら、各コンデンサーの電気量・電圧・静電エネルギーを順に求めます。電池に複数のコンデンサーをつないだ回路で、どのコンデンサーにどれだけ電荷やエネルギーがたまるかを調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

並列接続では、各コンデンサーの両端が同じ導線どうしでつながっているので、電圧 $V$ が共通です。電池から見ると、たまる電気量は $Q = Q_{1} + Q_{2} = C_{1} V + C_{2} V = (C_{1} + C_{2}) V$ です。これは容量 $C_{1} + C_{2}$ のコンデンサー 1 個と同じはたらきなので、合成容量は $C = C_{1} + C_{2}$ になります。

直列接続では、 $C_{1}$ と $C_{2}$ の間の極板と導線の部分がほかから切り離されて孤立しています。はじめに電荷がなければ、電気量保存によってこの部分の電気量は $0$ のままです。そのため、片方の極板が $- Q$ ならもう片方は $+ Q$ となり、どのコンデンサーにも同じ電気量 $Q$ がたまります。電圧は足し合わされるので $V = V_{1} + V_{2} = \frac{Q}{C _{1}} + \frac{Q}{C _{2}}$ となります。これを $V = \frac{Q}{C}$ と比べると $\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}$ が得られます。

合成容量で全体の $Q$ や $V$ がわかれば、直列部分では「 $Q$ が共通」、並列部分では「 $V$ が共通」という性質を使って、各コンデンサーの値に戻せます。各コンデンサーのエネルギーは $U = \frac{1}{2} Q V$ で求められます。それらの和は、合成容量で計算した $\frac{1}{2} C V^{2}$ と一致します。

手順

つなぎ方を見分ける。両端が同じ 2 本の導線にそれぞれつながっていれば並列、1 本道でつながり間の部分が孤立していれば直列（直列では、はじめ電荷がないことを確認する）
内側の組から順に合成容量を求める。並列は $C = C_{1} + C_{2}$ 、直列は $\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}$ を計算し、最後に逆数をとる。容量の単位は F にそろえておく（ $1 μ F = 1.0 \times 1 0^{- 6} F$ ）
電池の電圧 $V$ と合成容量 $C$ から、全体にたまる電気量 $Q = C V$ を求める
回路をもとに戻して各コンデンサーの値を求める。直列部分は電気量が共通なので $V_{i} = \frac{Q}{C _{i}}$ 、並列部分は電圧が共通なので $Q_{i} = C_{i} V$
各コンデンサーの静電エネルギーを $U_{i} = \frac{1}{2} Q_{i} V_{i} = \frac{1}{2} C_{i} V_{i}^{2}$ で求める。検算として、和が $\frac{1}{2} C V^{2}$ になることを確かめる

例題

電気容量 $2.0 μ F$ のコンデンサー $C_{1}$ と、電気容量 $3.0 μ F$ のコンデンサー $C_{2}$ を直列につなぎ、その両端に起電力 $10 V$ の電池をつないだ。はじめ、どちらのコンデンサーにも電荷はなかった。導線の抵抗と電池の内部抵抗は無視でき、 $1 μ F = 1.0 \times 1 0^{- 6} F$ とする。十分に時間がたったとき、 $C_{1}$ に蓄えられている静電エネルギーは何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1： $C_{1}$ と $C_{2}$ は 1 本道でつながっているので直列です。間の部分ははじめ電荷がなく孤立しているため、2 つのコンデンサーの電気量は等しくなります。

手順 2：合成容量 $C$ を求めます。 $\frac{1}{C} = \frac{1}{2.0} + \frac{1}{3.0} = \frac{5}{6.0}$ （単位 $μ F^{- 1}$ ）です。逆数をとると $C = \frac{6.0}{5} = 1.2 μ F = 1.2 \times 1 0^{- 6} F$ となります。

手順 3：全体の電気量は $Q = C V = 1.2 \times 1 0^{- 6} \times 10 = 1.2 \times 1 0^{- 5} C$ です。

手順 4：直列なので $C_{1}$ の電気量も $Q = 1.2 \times 1 0^{- 5} C$ です。よって $V_{1} = \frac{Q}{C _{1}} = \frac{1.2 \times 1 0 ^{- 5}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 6.0 V$ となります（ $V_{2} = 10 - 6.0 = 4.0 V$ で、容量の小さい $C_{1}$ のほうが電圧が大きい）。

手順 5： $U_{1} = \frac{1}{2} Q V_{1} = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 1 0^{- 5} \times 6.0 = 3.6 \times 1 0^{- 5} J$ です。

検算： $U_{2} = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 1 0^{- 5} \times 4.0 = 2.4 \times 1 0^{- 5} J$ なので、和は $6.0 \times 1 0^{- 5} J$ です。これは $\frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 1 0^{- 6} \times 1 0^{2} = 6.0 \times 1 0^{- 5} J$ と一致します。

答え： $3.6 \times 1 0^{- 5} J$

答え: $3.6 \times 1 0^{- 5}$

よくある誤り

直列の合成容量で、 $\frac{1}{C}$ を求めたところで止めてしまう誤り。 $\frac{1}{C} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ から $C = \frac{5}{6} μ F$ としてはいけません。正しくは逆数をとって $C = \frac{6}{5} = 1.2 μ F$ です。直列の合成容量はどの容量よりも小さくなるので、それで確かめられます。
直列のとき、電圧を容量に比例して配分してしまう誤り（ $V_{1} : V_{2} = C_{1} : C_{2} = 2 : 3$ とする）。正しくは電気量が共通なので $V_{i} = \frac{Q}{C _{i}}$ となり、 $V_{1} : V_{2} = \frac{1}{C _{1}} : \frac{1}{C _{2}} = C_{2} : C_{1} = 3 : 2$ です。容量の小さいものほど電圧が大きくなります。
$μ F$ を F に直さずにエネルギーを計算してしまう誤り（ $U_{1} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 6. 0^{2} = 36 J$ とする）。正しくは $C_{1} = 2.0 \times 1 0^{- 6} F$ を使い、 $U_{1} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 1 0^{- 6} \times 6. 0^{2} = 3.6 \times 1 0^{- 5} J$ です。
はじめから電荷をもっていたコンデンサーを直列につないだ場合にも、「電気量が共通」として合成容量の式を使ってしまう誤り。 $\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}$ と $Q_{1} = Q_{2}$ は、間の孤立部分の電気量が $0$ のとき（はじめ電荷がないとき）に成り立ちます。そうでないときは、孤立部分の電気量保存の式を立て直して考えます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

誘電体・金属板を部分的に入れたコンデンサー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーのつなぎ替えと電気量保存（高校物理電場と電位・コンデンサー）