静止摩擦力と動摩擦力

静止摩擦力をつり合いから求め、最大摩擦力 $μ N$ と比べて物体がすべり出すかを判定できる。すべり出す傾き角から $tan θ = μ$ を使って静止摩擦係数を求め、動摩擦力の大きさ $μ^{'} N$ を求められる

前提

力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））

この技能までの道筋（38 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））

説明

物体が静止しているときの摩擦力の大きさをつり合いの式から求め、それを最大摩擦力 $μ N$ と比べることで、物体がすべり出すかどうかを判定できるようになります。すべり出す場合は、摩擦力を動摩擦力 $μ^{'} N$ に切りかえて考えます。また、板を少しずつ傾けて物体がすべり出す角度を測れば、 $tan θ = μ$ の関係から静止摩擦係数を求められます。床の上の箱を押す場面や、斜面に置いた物体の問題で使います。

なぜそうしてよいのか

静止摩擦力は決まった大きさをもつ力ではなく、物体を静止させておくのに必要なだけの大きさになる力です。そこで、まず物体が静止していると仮定して、つり合いの式から必要な摩擦力 $F$ を求めます。静止摩擦力には上限があり、それが最大摩擦力 $μ N$ です。 $F \leq μ N$ なら摩擦力は必要な分を出せるので、物体は静止したままです。 $F > μ N$ なら必要な摩擦力を出せないので、物体はすべり出します。すべっている間は、摩擦力は動摩擦力 $μ^{'} N$ （向きは面に対して物体がすべる向きと逆）になります。

斜面の場合を考えます。傾き $θ$ の斜面に質量 $m$ の物体が静止しているとします。重力加速度の大きさを $g$ とすると、斜面に垂直な方向のつり合いから $N = m g cos θ$ 、斜面に平行な方向のつり合いから、必要な静止摩擦力は $F = m g sin θ$ です。傾きを大きくすると $F$ は増え、 $N$ は減ります。そのため、ある角度 $θ_{0}$ で $F$ が最大摩擦力に達します。その角度では $m g sin θ_{0} = μ m g cos θ_{0}$ が成り立ち、両辺を $m g cos θ_{0}$ で割ると次の式が得られます。 $0^{\circ} < θ_{0} < 9 0^{\circ}$ なので $cos θ_{0} \neq = 0$ です。
$μ = tan θ_{0}$
質量 $m$ も $g$ も消えるので、すべり出す角度だけで静止摩擦係数が決まります。

手順

物体にはたらく力（重力・垂直抗力・引く力・摩擦力）をすべて描き、面に平行な方向と面に垂直な方向の 2 つに分けて考える。
面に垂直な方向のつり合いから垂直抗力 $N$ を求める（斜面なら $N = m g cos θ$ 。水平面で真横に引くだけなら $N = m g$ ）。
物体が静止していると仮定し、面に平行な方向のつり合いから、必要な静止摩擦力 $F$ を求める。
$F$ と最大摩擦力 $μ N$ を比べる。 $F \leq μ N$ なら静止したままで、摩擦力は $F$ になる。 $F > μ N$ ならすべり出す。
すべっているときは、摩擦力を動摩擦力 $μ^{'} N$ とする。向きは、面に対して物体がすべる向きと逆にとる。
斜面で、ちょうどすべり出す角度 $θ_{0}$ がわかっている場合は、 $F = μ N$ とおいて $μ = tan θ_{0}$ を使う。

例題

水平な板の上に小物体を置き、板の一端を持ち上げて傾きの角をゆっくり大きくしていった。傾きの角が $3 0^{\circ}$ をこえた瞬間に、小物体はすべり出した。小物体と板の間の静止摩擦係数 $μ$ を求めよ。

例題の解答

小物体の質量を $m$ 、重力加速度の大きさを $g$ とおきます（最後に消えます）。

手順1：小物体にはたらく力は、重力 $m g$ 、垂直抗力 $N$ 、静止摩擦力 $F$ （斜面に沿って上向き）の 3 つです。これを斜面に平行な方向と垂直な方向に分けます。

手順2：斜面に垂直な方向のつり合いから $N = m g cos 3 0^{\circ}$ です。

手順3：静止しているとき、斜面に平行な方向のつり合いから $F = m g sin 3 0^{\circ}$ です。

手順4・6： $3 0^{\circ}$ でちょうどすべり出すので、この角度で静止摩擦力が最大摩擦力に達しています。よって $F = μ N$ です。
$m g sin 3 0^{\circ} = μ m g cos 3 0^{\circ}$
両辺を $m g cos 3 0^{\circ}$ で割ります。
$μ = tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$

答え: $\frac{3}{3}$

よくある誤り

静止しているのに、摩擦力をいつも $μ N$ としてしまう誤り。例えば、質量 $2.0 kg$ の物体を水平な床に置き（ $μ = 0.50$ 、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ ）、水平に $6.0 N$ で引いても動かない場合、摩擦力を $μ N = 9.8 N$ とするのは誤りです。正しくは、つり合いから摩擦力は引く力と同じ $6.0 N$ です。 $μ N$ は、ちょうどすべり出す直前の上限の値です。
斜面上で垂直抗力を $N = m g$ としてしまう誤り。正しくは、斜面に垂直な方向のつり合いから $N = m g cos θ$ です。そのため、最大摩擦力は $μ m g cos θ$ になります。
すべり出す角度から求めた値を、動摩擦係数と考えて $μ^{'} = tan θ_{0}$ としてしまう誤り。正しくは、すべり出す直前はまだ静止しているので、求まるのは静止摩擦係数 $μ = tan θ_{0}$ です。すべり出したあとの摩擦力は $μ^{'} N$ （ふつう $μ^{'} < μ$ ）を使います。
$m g sin θ_{0} = μ m g cos θ_{0}$ を解くときに、 $μ = sin θ_{0}$ や $μ = \frac{cos θ _{0}}{sin θ _{0}}$ としてしまう誤り。正しくは $μ = \frac{sin θ _{0}}{cos θ _{0}} = tan θ_{0}$ です。例えば $θ_{0} = 3 0^{\circ}$ なら $μ = \frac{3}{3}$ で、 $\frac{1}{2}$ や $3$ ではありません。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

あらい面・斜面上の運動（高校物理力と運動）
摩擦のある剛体のつり合い（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
斜面・円すい面上の円運動と摩擦の限界（高校物理円運動・単振動・万有引力）