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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

頂点 $V$ を下に向け、中心軸を鉛直にして置かれた円錐形の容器がある。容器の内面（円錐面）を中心軸を含む鉛直な平面で切ると、内面の線は水平面と角 $θ$ をなし、 $tan θ = \frac{3}{4}$ である。この容器は中心軸のまわりに一定の角速度で回転させることができる。

容器の内面上の、中心軸からの距離が $r$ の点 $P$ に、大きさの無視できる小物体を置く。小物体と内面のあいだの静止摩擦係数は $\frac{1}{2}$ である。容器を一定の角速度 $ω$ で回転させたところ、小物体は内面に対してすべらずに $P$ にとどまり、容器と一緒に半径 $r$ の等速円運動をした。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小物体が内面に対してすべらずに $P$ にとどまることができる $ω$ の最大値を、 $g$ , $r$ を用いて表せ。

V

P

r

ω

中心軸

θ

中心軸を含む鉛直な断面

この問題で使うもの

斜面・円すい面上の円運動と摩擦の限界（説明と入口の問題）
向心力と円運動の運動方程式（説明と入口の問題）
静止摩擦力と動摩擦力（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

$ω$ が最大のとき、小物体は内面にそって上へすべり出す直前なので、静止摩擦力は内面にそって下向きで最大摩擦力になっている。

ヒント 2

水平方向は $m r ω^{2} = N sin θ + f cos θ$ 、鉛直方向は $N cos θ - f sin θ = m g$ 。 $f = \frac{1}{2} N$ とおく。

ヒント 3

$sin θ = \frac{3}{5}$ , $cos θ = \frac{4}{5}$ を代入すると、鉛直方向の式から $N = 2 m g$ が求まる。

答えと解説

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\frac{2 g}{r}

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解説を読む

$tan θ = \frac{3}{4}$ より $sin θ = \frac{3}{5}$ , $cos θ = \frac{4}{5}$ である。小物体の質量を $m$ とする。

力の向き 小物体にはたらく力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）、内面からの垂直抗力 $N$ （内面に垂直で、中心軸側の斜め上向き）、静止摩擦力 $f$ （内面にそった向き）である。 $ω$ が大きくなると、小物体は内面にそって外側の上へすべろうとするので、 $ω$ が最大のとき、静止摩擦力は内面にそって下向き（頂点 $V$ の向き）で、最大摩擦力 $f = \frac{1}{2} N$ になっている。

運動方程式とつり合い 小物体は水平面内で半径 $r$ の等速円運動をするので、中心軸に向かう水平方向に向心力 $m r ω^{2}$ が必要で、鉛直方向は力がつり合う。
- 垂直抗力: 水平成分 $N sin θ$ （中心軸向き）、鉛直成分 $N cos θ$ （上向き）
- 摩擦力（内面にそって下向き）: 水平成分 $f cos θ$ （中心軸向き）、鉛直成分 $f sin θ$ （下向き）

よって
$水平方向 : m r ω^{2} = N sin θ + f cos θ (1)$
$鉛直方向 : N cos θ - f sin θ - m g = 0 (2)$
$f = \frac{1}{2} N$ と $sin θ = \frac{3}{5}$ , $cos θ = \frac{4}{5}$ を代入すると
$(2) : N (\frac{4}{5} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}) = m g \Rightarrow \frac{1}{2} N = m g, N = 2 m g$
$(1) : m r ω^{2} = N (\frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}) = N = 2 m g$
したがって
$ω^{2} = \frac{2 g}{r}, ω = \frac{2 g}{r}$

（ $ω$ がこれより大きいと、必要な静止摩擦力が最大摩擦力をこえ、小物体は上へすべり出す。）

答え: $\frac{2 g}{r}$

別解

$tan θ = \frac{3}{4}$ より $sin θ = \frac{3}{5}$ , $cos θ = \frac{4}{5}$ 。

内面は円錐の内側なので、小物体が内面から受ける垂直抗力 $N$ は、面に垂直で中心軸向きかつ上向き。成分は鉛直上向きに $N cos θ$ 、水平で軸向きに $N sin θ$ 。

$ω$ が最大のとき、小物体は面に沿って上（軸から遠ざかる向き）にすべり出す寸前であり、最大摩擦力 $f = μ N$ （ $μ = \frac{1}{2}$ ）が面に沿って下向き（軸に近づく向きで下向き）にはたらく。摩擦力の成分は、水平で軸向きに $f cos θ$ 、鉛直下向きに $f sin θ$ 。

鉛直方向のつり合い:
$N cos θ - f sin θ - m g = 0$
$N (cos θ - μ sin θ) = m g$
$N (\frac{4}{5} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}) = N \cdot \frac{1}{2} = m g$ より $N = 2 m g$ 。

水平方向の運動方程式（向心方向）:
$N sin θ + f cos θ = m r ω^{2}$
$N (sin θ + μ cos θ) = N (\frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = N = m r ω^{2}$

よって $2 m g = m r ω^{2}$ 、 $ω^{2} = \frac{2 g}{r}$ 、 $ω = \frac{2 g}{r}$ 。

検算: $ω^{2} = 2 g / r$ のとき $N = 2 m g$ , $f = m g$ 。鉛直: $2 m g \cdot \frac{4}{5} - m g \cdot \frac{3}{5} - m g = \frac{8}{5} m g - \frac{3}{5} m g - m g = 0$ 。水平: $2 m g \cdot \frac{3}{5} + m g \cdot \frac{4}{5} = 2 m g = m r ω^{2}$ 。成立。

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