円運動・単振動・万有引力の問題

頂点を上に向け、中心軸を鉛直にして置いた円すいがある。円すいの外側の面（側面）と水平面とのなす角は $30^{\circ }$ である。この外側の面上で、中心軸からの距離が $r$ の位置に質量 $m$ の小物体を置いた。円すいを中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させると、小物体は面に対してすべらず、円すいと一緒に半径 $r$ の水平な等速円運動をした。小物体と面のあいだの静止摩擦係数を $1$、重力加速度の大きさを $g$ とする。小物体が面に対してすべらない $\omega$ の最大値を、$r$, $g$ を用いて表せ。ただし、小物体の大きさと空気抵抗は無視する。

中心軸が鉛直な円すい面の内側を考える。円すい面は頂点 $\mathrm{O}$ を下にして置かれ、面は水平面と $45^{\circ }$ の角をなしている。この円すい面を、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させる。中心軸から水平距離 $0.30\mathrm{m}$ の位置の面上に小さな物体を置くと、物体は面に対してすべらずに、面といっしょに水平面内で等速円運動をした。物体と面のあいだの静止摩擦係数を $0.50$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、物体の大きさと空気抵抗は無視する。物体が面に対してすべらないような $\omega$ の最大値は何 $rad/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

頂点 $\mathrm{V}$ を下に向け、中心軸を鉛直にして置かれた円錐形の容器がある。容器の内面（円錐面）を中心軸を含む鉛直な平面で切ると、内面の線は水平面と角 $\theta$ をなし、$\tan \theta =\frac{3}{4}$ である。この容器は中心軸のまわりに一定の角速度で回転させることができる。

容器の内面上の、中心軸からの距離が $r$ の点 $\mathrm{P}$ に、大きさの無視できる小物体を置く。小物体と内面のあいだの静止摩擦係数は $\frac{1}{2}$ である。容器を一定の角速度 $\omega$ で回転させたところ、小物体は内面に対してすべらずに $\mathrm{P}$ にとどまり、容器と一緒に半径 $r$ の等速円運動をした。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小物体が内面に対してすべらずに $\mathrm{P}$ にとどまることができる $\omega$ の最大値を、$g$, $r$ を用いて表せ。

水平な床の上に、半径 $r$ のなめらかな半球が、平面の側を下にして固定されている。半球の中心を $\mathrm{O}$、半球面の最高点を $\mathrm{A}$ とする。質量 $m$ の小球を点 $\mathrm{A}$ に置き、水平方向に速さ $v_0=\frac{1}{2}\sqrt{gr}$ を与えたところ、小球は半球面にそってすべり下り、やがて半球面から離れた。小球が半球面から離れる点を $\mathrm{P}$ とし、$\angle \mathrm{AOP}=\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視でき、小球は $\mathrm{O}$ と $\mathrm{A}$ を含む鉛直面内で運動するものとする。

長さ $l$ の軽くて伸びない糸の一端を点 $\mathrm{O}$ に固定し、他端に質量 $m$ の小球をつける。小球は、$\mathrm{O}$ の真下の点 $\mathrm{A}$ に糸が張った状態で静止している。$\mathrm{O}$ の真上で $\mathrm{O}$ から距離 $l$ の点を $\mathrm{B}$ とする。

$\mathrm{A}$ にある小球に水平方向の速さ $v_0$ を与えたところ、小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $l$ の円にそって鉛直面内で運動を始めた。糸がたるむことなく小球が $\mathrm{B}$ を通過するための $v_0$ の最小値を、$g$, $l$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。