円運動・単振動・万有引力の問題

小物体は円すいと一緒に半径 $r$ の水平な等速円運動をしています。そのため、小物体にはたらく力の合力は水平で中心軸向き、大きさ $mr{\omega }^2$ です（向心力）。

力を書き出す　小物体にはたらく力は次の 3 つです。
- 重力 $mg$（鉛直下向き）
- 垂直抗力 $N$（面に垂直。外側の面なので、上向きかつ中心軸から遠ざかる向きに傾いている）
- 静止摩擦力 $f$（面に沿って上向き、つまり頂点（中心軸）に近づく向き）

摩擦力がこの向きになる理由は次のとおりです。回転していないとき、小物体は斜面を下にすべろうとします。回転させると外側へすべろうとする傾向がさらに強まります。

水平・鉛直に分解する　面と水平面のなす角を $\theta =30^{\circ }$ とします。
- $N$ の成分：中心から遠ざかる向きに $N\sin \theta$、鉛直上向きに $N\cos \theta$
- $f$ の成分：中心向きに $f\cos \theta$、鉛直上向きに $f\sin \theta$

中心向きの運動方程式と、鉛直方向のつり合いの式は次のようになります。
$$f\cos \theta -N\sin \theta =mr{\omega }^2(1)$$
$$N\cos \theta +f\sin \theta =mg(2)$$

$N$ と $f$ を求める　$(1)\times \cos \theta +(2)\times \sin \theta$ と $(2)\times \cos \theta -(1)\times \sin \theta$ をつくり、${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使うと
$$f=m(g\sin \theta +r{\omega }^2\cos \theta ),N=m(g\cos \theta -r{\omega }^2\sin \theta )$$
$\omega$ を大きくすると、$f$ は大きくなり $N$ は小さくなるので、すべりやすくなります。

すべらない条件 $f\le \mu N$　$\mu =1$ なので $f\le N$ より
$$g\sin \theta +r{\omega }^2\cos \theta \le g\cos \theta -r{\omega }^2\sin \theta$$
$$r{\omega }^2(\cos \theta +\sin \theta )\le g(\cos \theta -\sin \theta )$$
$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると
$$r{\omega }^2\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2}\le g\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$
$${\omega }^2\le \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{g}{r}=\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{2}\cdot \frac{g}{r}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{g}{r}=\frac{(2-\sqrt{3})g}{r}$$
このとき $N=m(g\cos \theta -r{\omega }^2\sin \theta )>0$ なので、小物体は面から離れません。

よって $\omega$ の最大値は
$$\omega =\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})g}{r}}$$

斜面（円すい側面）の傾きを $\theta =30^{\circ }$ とする。小物体にはたらく力は、重力 $mg$、垂直抗力 $N$（面に垂直で外向き上向き）、静止摩擦力 $f$（面に沿う）である。向心加速度は大きさ $r{\omega }^2$ で、中心軸に向かう水平方向である。

面に沿って上向きを正として摩擦力を $f$ とおく。加速度を面に沿う成分と垂直な成分に分ける。

面に沿う方向（斜面上向き）: 向心加速度の成分は $r{\omega }^2\cos \theta$ なので
$f-mg\sin \theta =mr{\omega }^2\cos \theta$ より $f=m(g\sin \theta +r{\omega }^2\cos \theta )$

面に垂直な方向（外向き）: 向心加速度の成分は $-r{\omega }^2\sin \theta$ なので
$N-mg\cos \theta =-mr{\omega }^2\sin \theta$ より $N=m(g\cos \theta -r{\omega }^2\sin \theta )$

$\omega$ が大きいほど $f$ は大きくなり、$N$ は小さくなる。そのため、すべらない条件は $f\le \mu N=N$（$\mu =1$）である。
$g\sin \theta +r{\omega }^2\cos \theta \le g\cos \theta -r{\omega }^2\sin \theta$
$r{\omega }^2(\cos \theta +\sin \theta )\le g(\cos \theta -\sin \theta )$

$\theta =30^{\circ }$ を代入すると
${\omega }^2\le \frac{g}{r}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{g}{r}(2-\sqrt{3})$

したがって ${\omega }_{\max }=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})g}{r}}$。

検算: このとき $N=mg(\cos 30^{\circ }-(2-\sqrt{3})\sin 30^{\circ })=mg\cdot \frac{\sqrt{3}-2+\sqrt{3}}{2}=mg(\sqrt{3}-1)\cdot \frac{2\sqrt{3}-2}{2(\sqrt{3}-1)}>0$ より、$N>0$ で面から離れない。また $f=m(g/2+g(2-\sqrt{3})\sqrt{3}/2)=mg(1/2+\sqrt{3}-3/2)=mg(\sqrt{3}-1)$、$N=mg(\sqrt{3}-1)$ となり $f=N$ で一致する。