斜面・円すい面上の円運動と摩擦の限界

回転する円すい面や傾いた回転台の上で物体がすべらずに円運動するとき、垂直抗力と静止摩擦力を水平（中心向き）・鉛直方向に分解して式を立て、 $f \leq μ N$ からすべらない角速度 $ω$ の最大値・最小値を求められる

前提

向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）

この技能までの道筋（53 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）

説明

回転する円すい面の内側や、内側へ傾いた面（バンク）の上で、物体が面といっしょに水平な円をえがいて回るとき、物体がすべらずにいられる角速度 $ω$ の範囲を求める技能です。回転が速すぎると物体は面に沿って外側の上へ、遅すぎると内側の下へすべり出します。垂直抗力と静止摩擦力を水平（中心向き）と鉛直に分けて式を立て、 $f \leq μ N$ を使って $ω$ の最大値・最小値を求めます。遊園地の回転遊具や、傾いたカーブを走る車などの場面で使います。

なぜそうしてよいのか

物体は水平面内で半径 $r$ の等速円運動をしているので、加速度は水平で回転の中心向き、大きさは $r ω^{2}$ です。鉛直方向には加速度がありません。そこで、力を斜面に沿う向きではなく「水平（中心向き）」と「鉛直」に分けると、水平方向は運動方程式 $m r ω^{2} = (中心向きの力の合計)$ 、鉛直方向は力のつり合い $(上向きの力) = (下向きの力)$ という、前提の技能どおりの 2 式が立ちます。面が水平と角 $θ$ をなす円すい面の内側では、垂直抗力 $N$ は面に垂直で、中心向きに $N sin θ$ 、上向きに $N cos θ$ の成分をもちます。面に沿う静止摩擦力 $f$ は、斜面下向きなら中心向きに $f cos θ$ 、下向きに $f sin θ$ の成分をもちます。

静止摩擦力は、物体が面に対して動かないように大きさと向きが自動的に決まる力です。そのため、 $ω$ を決めると上の 2 式から $N$ と $f$ が求まります。 $ω$ が大きいほど必要な中心向きの力が増え、物体は外側（斜面の上）へすべろうとするので、摩擦力は斜面下向きに大きくなります。 $ω$ が小さいと物体は内側（斜面の下）へすべろうとするので、摩擦力は斜面上向きになります。ちょうど $r ω^{2} = g tan θ$ のときは $f = 0$ で、垂直抗力と重力だけで円運動できます。

静止摩擦力の大きさには上限 $μ N$ があります。すべらないための条件は $f \leq μ N$ です。そこで「求めた $f$ を $μ N$ と比べる」と、 $ω$ についての不等式が得られます。等号が成り立つときが、すべり出す直前の限界になります。

手順

物体にはたらく力を書き出す。重力 $m g$ （鉛直下向き）、垂直抗力 $N$ （面に垂直）、静止摩擦力 $f$ （面に沿う）の 3 つ。半径 $r$ は回転軸からの水平距離で表しておく。
摩擦力の向きを決める。 $ω$ の最大値を求めるときは、物体が外側の上へすべろうとするので摩擦力は斜面下向き。最小値を求めるときは斜面上向きにとる。
水平（中心向き）方向の運動方程式を立てる。摩擦力が斜面下向きなら $m r ω^{2} = N sin θ + f cos θ$ （上向きなら $+ f cos θ$ を $- f cos θ$ にする）。
鉛直方向のつり合いの式を立てる。摩擦力が斜面下向きなら $N cos θ - f sin θ = m g$ （上向きなら $- f sin θ$ を $+ f sin θ$ にする）。
2 式を連立して $N$ と $f$ を $ω$ で表す。斜面下向きの場合は $N = m (g cos θ + r ω^{2} sin θ)$ 、 $f = m (r ω^{2} cos θ - g sin θ)$ となる。
すべらない条件 $f \leq μ N$ に代入し、 $ω^{2}$ について解く。両辺を文字式で割るときは、その式が正であることを確かめる。等号のときの $ω$ が最大値（または最小値）になる。

例題

頂点を下にした円すい面が、鉛直な中心軸のまわりに一定の角速度 $ω$ で回転している。面の母線が水平面となす角は $4 5^{\circ}$ である。面の内側に質量 $m$ の小物体を置くと、小物体は回転軸からの水平距離が $r$ の位置で、面に対してすべらずに面とともに回転した。小物体と面の間の静止摩擦係数を $0.50$ 、重力加速度の大きさを $g$ とする。小物体がすべらないための角速度 $ω$ の最大値を、 $g$ , $r$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: 小物体にはたらく力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）、垂直抗力 $N$ （面に垂直で、軸側の上向き）、静止摩擦力 $f$ （面に沿う向き）の 3 つ。半径は $r$ である。

手順 2: 最大値を求めるので、小物体は外側の上へすべろうとしている。よって摩擦力は斜面下向き（軸側の下向き）にとる。

手順 3: $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ である。水平方向（中心向き）の運動方程式は
$m r ω^{2} = N \cdot \frac{2}{2} + f \cdot \frac{2}{2}$
となり、整理すると $N + f = 2 m r ω^{2}$ 。

手順 4: 鉛直方向のつり合いの式は
$N \cdot \frac{2}{2} - f \cdot \frac{2}{2} = m g$
となり、整理すると $N - f = 2 m g$ 。

手順 5: 2 式を足して 2 で割ると $N = \frac{2}{2} m (r ω^{2} + g)$ 。引いて 2 で割ると $f = \frac{2}{2} m (r ω^{2} - g)$ 。

手順 6: すべらない条件 $f \leq 0.50 N$ に代入し、両辺を正の数 $\frac{2}{2} m$ で割ると
$r ω^{2} - g \leq 0.50 (r ω^{2} + g)$
$0.50 r ω^{2} \leq 1.50 g ⟹ ω^{2} \leq \frac{3 g}{r}$
$ω > 0$ なので $ω \leq \frac{3 g}{r}$ 。よって最大値は $\frac{3 g}{r}$ である（このとき $f > 0$ なので、摩擦力を斜面下向きにとった仮定とも合っている）。

答え: $\frac{3 g}{r}$

よくある誤り

斜面上に静止している物体のときのくせで、垂直抗力を $N = m g cos θ$ としてしまう誤り。円運動では斜面に垂直な方向にも加速度の成分があるので、これは成り立たない。正しくは、水平の運動方程式 $m r ω^{2} = N sin θ + f cos θ$ と鉛直のつり合い $N cos θ - f sin θ = m g$ を連立して $N = m (g cos θ + r ω^{2} sin θ)$ を求める。
最大値と最小値のどちらを求めるときも、摩擦力を同じ向き（たとえば斜面上向き）にしてしまう誤り。正しくは、最大値では斜面下向きにとり $m r ω^{2} = N sin θ + f cos θ$ 、最小値では斜面上向きにとり $m r ω^{2} = N sin θ - f cos θ$ とする。
半径に、円すいの頂点から面に沿って測った距離 $L$ をそのまま使ってしまう誤り。正しくは、半径は回転軸からの水平距離で、母線が水平と角 $θ$ をなすなら $r = L cos θ$ を使って $m L cos θ ω^{2}$ とする。
$r ω^{2} (cos θ - μ sin θ) \leq g (sin θ + μ cos θ)$ を、符号を確かめずに $cos θ - μ sin θ$ で割ってしまう誤り。正しくは、 $cos θ - μ sin θ > 0$ （ $μ < \frac{1}{tan θ}$ ）のときだけ $ω^{2} \leq \frac{g ( sin θ + μ cos θ )}{r ( cos θ - μ sin θ )}$ となる。 $cos θ - μ sin θ \leq 0$ なら、どんなに速く回しても外側へはすべらない。同様に最小値も、 $tan θ \leq μ$ なら回転していなくてもすべらないので、最小値の条件はつかない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
頂点 $V$ を下に向け、中心軸を鉛直にして置かれた円錐形の容器がある。容器の内面（円錐面）を中心軸を含む鉛直な平面で切ると、内面の線は水平面と角 $θ$ をなし、 $tan θ = \frac{3}{4}$ である。この容器は中心軸のまわりに一定の角速度で回転させることができる。
容器の内面上の、中心軸からの距離が $r$ の点 $P$ に、大きさの無視できる小物体を置く。小物体と内面のあいだの静止摩擦係数は $\frac{1}{2}$ である。容器を一定の角速度 $ω$ で回転させたところ、小物体は内面に対してすべらずに $P$ にとどまり、容器と一緒に半径 $r$ の等速円運動をした。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。
小物体が内面に対してすべらずに $P$ にとどまることができる $ω$ の最大値を、 $g$ , $r$ を用いて表せ。
$V$ $P$ $r$ $ω$ 中心軸 $θ$
中心軸を含む鉛直な断面