小球が、半径 の円周上を一定の速さ で等速円運動をしている。この小球の加速度の大きさは何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
円運動・単振動・万有引力
扱うテーマ: 等速円運動と向心力、鉛直面内の円運動、ばね振り子・単振り子の周期、単振動のエネルギー、万有引力とケプラーの法則・人工衛星
難易度の目安（高校物理）
- 難易度 1 教科書の例題レベル
- 難易度 2 教科書の章末問題レベル
- 難易度 3 共通テストレベル
- 難易度 4 国公立二次の標準レベル
- 難易度 5 難関大の二次レベル
小球の速度は円の接線方向 なめらかな水平面上で、小球が点 を中心とする半径 の円周上を、一定の速さ で等速円運動している。この小球の加速度の大きさは何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
小球地球は太陽のまわりを公転している。地球の公転軌道を、太陽を中心とする半径 の円とみなし、地球の公転周期を 年とする。ある小惑星は、太陽を つの焦点とする楕円軌道を描いて公転しており、その楕円の半長軸は である。
地球と小惑星のどちらについても、ケプラーの第 法則（公転周期 の 乗は軌道の半長軸 の 乗に比例し、比例定数は太陽のまわりを回る天体で共通）が成り立つものとする。地球と小惑星のあいだにはたらく引力など、太陽以外の天体の影響は無視する。円軌道の半長軸はその円の半径に等しいとする。
この小惑星の公転周期は何年か。
太陽地球の軌道小惑星の軌道図は模式図で、楕円の形は正確とは限りません 地球は太陽のまわりを公転しており、その公転周期は 年、軌道の半長軸は である。ある小惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描いて太陽のまわりを公転しており、その軌道の半長軸は である。ケプラーの第 3 法則を用いて、この小惑星の公転周期は何年か求めよ。ただし、太陽以外の天体からの影響は無視できるものとする。
太陽地球の軌道小惑星の軌道模式図（図は正確とは限りません） なめらかな水平面上に点 があり、そこに軽くて伸びない糸の一端を固定する。糸の他端に質量 の小球 をつける。 を水平面上で、 を中心とする半径 の円周上を角速度 で等速円運動させる。このとき糸はたるまずに水平に張っている。小球の大きさと空気抵抗は無視する。糸の張力の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。
水平面を真上から見た図 なめらかな水平な台の上に点 があり、長さ の糸の一端が に固定されている。糸の他端には質量 の小球 がついている。 は糸をぴんと張ったまま、台の上で を中心とする半径 の等速円運動をしており、その速さは である。糸は軽くて伸びないものとし、台と小球のあいだの摩擦と空気抵抗は無視する。このとき、糸が小球を引く張力の大きさは何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
上から見た図 物体が 軸上で、原点 O を中心に振幅 、周期 の単振動をしている。時刻 における物体の変位は （ は振幅、 は角振動数）で表される。この物体の速さの最大値は何 m/s か。円周率 を用いて答えよ。
O太線は物体が振動する範囲、破線の円は対応する等速円運動 物体が 軸上で、原点 を中心に単振動をしている。振幅は 、周期は である。この物体の速さの最大値は何 か。円周率は とし、有効数字 2 桁で答えよ。
振動の中心 O と振幅のようす 中心軸が鉛直な円すい面の内側を考える。円すい面は頂点 を下にして置かれ、面は水平面と の角をなしている。この円すい面を、中心軸のまわりに一定の角速度 で回転させる。中心軸から水平距離 の位置の面上に小さな物体を置くと、物体は面に対してすべらずに、面といっしょに水平面内で等速円運動をした。物体と面のあいだの静止摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、物体の大きさと空気抵抗は無視する。物体が面に対してすべらないような の最大値は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
物体中心軸中心軸をふくむ鉛直な断面 頂点を下に向け、中心軸を鉛直にして固定した円すい面がある。円すい面の内側の面と水平面とのなす角は である。この内側の面上で、中心軸からの距離が の位置に質量 の小物体を置く。円すい面を中心軸のまわりに一定の角速度 で回転させたところ、小物体は面に対してすべらずに、半径 の水平な等速円運動をした。小物体と面のあいだの静止摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とする。空気抵抗は無視し、小物体の大きさは無視できるものとする。小物体がすべらずに半径 の等速円運動を続けられる角速度 の最大値を、, を用いて表せ。
中心軸を含む鉛直断面 長さ の軽くて伸びない糸の一端を天井の点 に固定し、他端に質量 の小球をつける。糸がたるまないようにして、糸が鉛直下向きと の角をなす位置 で小球を静かに放した。小球は を中心とする鉛直面内の円周上を運動し、最下点 を通過する。 を通過する瞬間の糸の張力の大きさを、, を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。
長さ の軽くて伸びない糸の一端を点 に固定し、他端に質量 の小球をつける。糸をたるませずに、糸が鉛直下向きと をなす位置 まで小球を持ち上げ、静かにはなした。小球は を中心とする半径 の円周にそって、鉛直面内を運動した。
重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。小球が最下点 （ の真下）を通過する瞬間の、糸の張力の大きさを , を用いて表せ。
なめらかな水平面上に、質量 の小物体が置かれている。小物体の左側にはばね定数 の軽いばねが、右側にはばね定数 の軽いばねがつながれていて、それぞれのばねの他端は左右の鉛直な壁に固定されている。2 本のばねは水平な一直線上にあり、どちらも自然の長さのとき、小物体はつり合いの位置で静止している。
小物体をばねにそって右へ少しずらして静かにはなすと、小物体はばねの方向に単振動をした。この単振動の周期を、, を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視し、ばねはつねにばねの方向に伸び縮みするものとする。
長さ の軽くて伸びない糸の上端を天井に固定し、下端に小さなおもりをつけて単振り子をつくった。おもりを鉛直な位置から少しだけ横に引いて静かにはなすと、おもりは鉛直面内で小さな振れ角で振動した。重力加速度の大きさを 、円周率を とし、空気抵抗は無視する。この単振り子の周期は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。
振れ角は実際より大きく描いてある 長さ の軽くて伸びない糸の一端を天井の点 に固定し、他端に小さなおもりをつるした単振り子がある。おもりを糸がたるまないように最下点から少し横に引き、鉛直方向からの振れ角が十分小さい状態で静かにはなしたところ、おもりは鉛直面内で振動した。空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさを 、円周率を とする。この単振り子の周期は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。
振れ角 は十分小さい（図は振れ角を大きめに描いている） 地球を半径 の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを とする。人工衛星 S が、地球の中心 O を中心とする半径 の円軌道（地表からの高さ ）上を等速円運動している。万有引力定数を 、地球の質量を とし、地表の重力は地球からの万有引力に等しい（地球の自転の影響は無視する）とする。人工衛星 S の速さ を、 と を用いて表せ。ただし、衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。
地球人工衛星 S の円軌道（破線） 地球を、中心 、半径 の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを とする。人工衛星 が、地表からの高さ のところを、 を中心とする円軌道にそって等速円運動している。 にはたらく力は地球からの万有引力だけとし、地球の自転の影響は考えない。万有引力定数を 、地球の質量を とすると、地表の重力は地球からの万有引力であるとみなせるので、 が成り立つ。このとき、 の速さを , を用いて表せ。
地球破線は人工衛星 P の円軌道 水平な床の上に、半径 のなめらかな半球面が、球面を上にして固定されている。半球の中心を 、半球面の最高点を とする。質量 の小球を に置き、水平方向に速さ を与えたところ、小球は半球面にそって鉛直面内ですべり下り、半球面上の点 で面から離れた。 とするとき、 の値を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。
図は正確とは限りません 水平な床の上に、半径 のなめらかな半球が、平面の側を下にして固定されている。半球の中心を 、半球面の最高点を とする。質量 の小球を点 に置き、水平方向に速さ を与えたところ、小球は半球面にそってすべり下り、やがて半球面から離れた。小球が半球面から離れる点を とし、 とするとき、 の値を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視でき、小球は と を含む鉛直面内で運動するものとする。
点 P の位置（）は一例 なめらかな水平面上で、ばね定数 の軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 の小物体をつけた。ばねは水平で、小物体はばねの方向にだけ動くものとする。ばねが自然長になる位置から小物体を 引いて静かにはなしたところ、小物体は自然長の位置を振動の中心とし、振幅 の単振動をした。小物体が振動の中心から はなれた位置を通過するときの速さは何 か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視する。
ばねが自然長のときのようす（破線は振動の中心の位置） なめらかな水平面上に、ばね定数 の軽いばねを置きます。ばねの左端は壁に固定し、右端には質量 の小物体をつけます。小物体は、ばねが自然長となる位置を振動の中心として、ばねの方向（水平方向）に振幅 の単振動をしています。空気抵抗は無視します。小物体が振動の中心から 離れた位置を通過するときの速さは何 ですか。有効数字 2 桁で答えなさい。
振動の中心ばねが自然長のときの位置を示した図 なめらかな水平面上で、ばね定数 の軽いばねの左端を壁に固定し、右端に質量 の小物体をつける。ばねが自然長のときの小物体の位置を原点 O とし、水平右向きを 軸の正の向きとする。小物体を （）の位置まで右に引き、時刻 に静かにはなしたところ、小物体は 軸上で単振動をした。小物体がはじめて の位置を通過する時刻を、, を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視する。
Oのようす（自然長の位置が O） なめらかな水平面上に、ばね定数 の軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 の小物体をつなぐ。ばねが自然の長さのときの小物体の位置を原点 とし、ばねが伸びる向き（壁から遠ざかる向き）を 軸の正の向きとする。小物体を （）の位置まで引いて静かにはなした。はなした時刻を とすると、小物体の位置は （）と表される。小物体をはなしてから、はじめて の位置を通過するまでにかかる時間を、, を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視する。
Oはなす直前（）のようす 質量 、半径 の地球の表面上の点 から、質量 の小物体を鉛直上向きに初速 で打ち上げたところ、小物体は地球の中心 から距離 の点 まで上がって、そこで一瞬止まった。万有引力定数を とし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準として、中心 から距離 （）の位置で と表されるものとする。空気抵抗・地球の自転・地球以外の天体の影響は無視し、地球は静止しているものとする。初速 を , , を用いて表せ。
地球質量 、半径 の地球の表面から、質量 の小物体を鉛直上向きに速さ で打ち上げた。万有引力定数を とし、万有引力による位置エネルギーの基準を無限遠にとる。小物体が最も高く上がったとき、地球の中心から小物体までの距離を、 を用いて表せ。ただし、地球は一様な球で静止しているものとし、地球の自転、空気抵抗、地球以外の天体からの万有引力は無視する。
O地球O は地球の中心 なめらかな水平な床の上で、ばね定数 の軽いばねの左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 の小物体 P を取り付ける。P はばねの方向（水平方向）にだけ動き、振幅 の単振動をしている。P がばねの自然長の位置（振動の中心）を右向きに通過する瞬間に、質量 の粘土 Q を P の真上から鉛直に静かに落としたところ、Q は P に衝突して一瞬で一体となった。その後、P と Q は一体となって水平方向に単振動した。この単振動の振幅を、 を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視し、衝突にかかる時間はきわめて短いものとする。
PQ（）P が自然長の位置を右向きに通過する瞬間に Q が落ちてくるようす なめらかな水平面上で、ばね定数 の軽いばねの左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 の小物体 を取り付けた。ばねは水平で、 はばねの軸にそって直線上を動く。 はばねが自然の長さとなる位置 を中心として、振幅 の単振動をしている。
が を右向きに通過する瞬間に、質量 の粘土 を の真上から静かに落としたところ、 は の上面に衝突して一瞬で一体となり、その後 と は一体のまま単振動をした。衝突の直前、 の速度は鉛直下向きで、水平方向の速度成分は であった。衝突は一瞬で起こるものとし、空気抵抗は無視する。
衝突後の単振動の振幅を、 を用いて表せ。
はばねが自然の長さのときの の位置 質量 の地球の中心 を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 の人工衛星が運動している。地球の中心から最も近い点（近地点） での からの距離は 、最も遠い点（遠地点） での からの距離は である。万有引力定数を とし、人工衛星には地球からの万有引力だけがはたらき、地球は静止しているものとする。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。人工衛星が近地点 を通過するときの速さを、, , を用いて表せ。
地球の中心 O を焦点とする楕円軌道（図は正確とは限りません） 質量 の地球の中心 を 1 つの焦点とする楕円軌道上を、質量 の人工衛星が回っている。軌道上で に最も近い点（近地点）を 、最も遠い点（遠地点）を とし、、 である。万有引力定数を とし、衛星には地球からの万有引力だけがはたらくものとする。地球は静止しているとみなし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準として で表されるものとする。近地点 での衛星の速さを、, , を用いて表せ。
地球の中心 O を焦点とする楕円軌道 小球が、点 を中心とする半径 の円周上を、周期 で等速円運動をしている。この小球の速さは何 か。円周率は とし、有効数字 2 桁で求めよ。
小球小球は周期 で等速円運動をする ある惑星 のまわりを、2 つの衛星 , が公転している。衛星 は を中心とする半径 の円軌道を、周期 で公転している。衛星 は を 1 つの焦点とする楕円軌道を、周期 で公転している。2 つの衛星は からの万有引力だけを受けて運動し、衛星どうしが及ぼしあう力は無視できるものとする。衛星 の楕円軌道の半長軸の長さを、 を用いて表せ。
図は正確とは限りません なめらかな水平な台の上に点 がある。自然長 、ばね定数 の軽いばねの一端を に取り付ける。ばねは のまわりに水平面内で自由に向きを変えられる。ばねの他端には質量 の小球 をつける。ばねを水平に保ったまま、 に台の上で を中心とする等速円運動をさせたところ、角速度は であった。このとき、ばねの自然長からの伸びは何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、台と小球のあいだに摩擦はなく、空気抵抗は無視する。
真上から見た図（ばねの長さは正確とは限りません） 物体が 軸上で、原点 を中心に単振動をしている。時刻 における物体の変位 は
で表され、振幅は 、角振動数は である。 軸の正の向きを速度の正の向きとする。時刻 における物体の速度は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。物体は と のあいだを単振動する 頂点を上に向け、中心軸を鉛直にして置いた円すいがある。円すいの外側の面（側面）と水平面とのなす角は である。この外側の面上で、中心軸からの距離が の位置に質量 の小物体を置いた。円すいを中心軸のまわりに一定の角速度 で回転させると、小物体は面に対してすべらず、円すいと一緒に半径 の水平な等速円運動をした。小物体と面のあいだの静止摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とする。小物体が面に対してすべらない の最大値を、, を用いて表せ。ただし、小物体の大きさと空気抵抗は無視する。
中心軸を含む鉛直な平面で切った断面 鉛直面内に、なめらかな軌道が固定されている。軌道は、斜面となめらかにつながった水平な床の部分と、床の点 を最下点とする中心 、半径 の円形の部分（ループ）からなる。円形の部分の最高点を とする（ は の真上、 から の高さにある）。
質量 の小球を、斜面上の点 （ から の高さ）で静かにはなしたところ、小球は斜面と床をすべり、 から円形の部分の内側にそって運動し、軌道から離れずに を通過した。
小球が を通過する瞬間に、軌道から受ける垂直抗力の大きさは何 か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。
図は正確とは限りません 天井に軽いばね（フックの法則にしたがう）の上端を固定し、ばねを鉛直につるす。ばねの下端に質量 のおもりを取り付けたところ、おもりは、ばねが自然の長さから 伸びた位置で静止した。次に、おもりをこの静止した位置から鉛直下向きに 引き下げて静かにはなしたところ、おもりは鉛直方向に単振動をした。おもりは質点とみなし、重力加速度の大きさを 、円周率を とし、空気抵抗は無視する。この単振動の周期は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。
おもりがつり合いの位置で静止しているようす ある惑星の表面で、長さ の軽くて伸びない糸の上端を固定し、下端に小さなおもりをつけて単振り子をつくった。おもりを鉛直な位置から少しだけ横に引いて静かにはなすと、おもりは鉛直面内で振れ角の十分小さい振動をし、その周期は であった。この惑星の表面での重力加速度の大きさは何 か。空気抵抗は無視でき、円周率は とする。有効数字 桁で求めよ。
振れ角は実際より大きく描いてある 地球を、中心 、半径 の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを とする。人工衛星 が、 を中心とする半径 の円軌道上を等速円運動している。衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとし、地球の自転と、地球以外の天体からの影響は考えない。地球の質量を 、万有引力定数を とすると、 が成り立つものとする。この衛星の周期は何 s か。円周率を として、有効数字 2 桁で求めよ。
地球地球と人工衛星 S の円軌道（破線） 長さ の軽くて伸びない糸の一端を点 に固定し、他端に質量 の小球をつける。小球は、 の真下の点 に糸が張った状態で静止している。 の真上で から距離 の点を とする。
にある小球に水平方向の速さ を与えたところ、小球は を中心とする半径 の円にそって鉛直面内で運動を始めた。糸がたるむことなく小球が を通過するための の最小値を、, を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。
破線は小球が運動する円 天井に上端を固定した、ばね定数 の軽いばねの下端に、質量 の小物体をつるす。小物体が静止するつり合いの位置を原点 とし、鉛直上向きを 軸の正の向きとする。小物体を から鉛直下向きに距離 （）だけ引き下げ、時刻 に静かにはなしたところ、小物体は鉛直方向に単振動をした。空気抵抗は無視でき、ばねは伸び縮みしても常にフックの法則に従うものとする。
小物体をはなしてから、はじめて位置 を通過するまでの時間を、, を用いて表せ。
小物体はつり合いの位置にある状態で描いている 地球を、中心 、半径 、質量 の一様な球とみなす。万有引力定数を 、地表での重力加速度の大きさを とする。地球の自転、空気抵抗、地球以外の天体の影響は無視する。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準にとり、地球の中心から距離 の位置にある質量 の物体について と表される。
地球の中心 から距離 の点 で、質量 の小物体を静かにはなしたところ、小物体は直線 に沿って落下し、地表の点 に達した。小物体が点 に達する直前の速さを、 と を用いて表せ。
なめらかな水平な床の上に、ばね定数 の軽いばねを水平に置き、その左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 の物体 を取り付ける。ばねが自然の長さのときの の位置を点 とする。 はばねの方向（水平方向）にだけ動き、 を中心として振幅 の単振動をしている。
が から右へ の位置を右向きに通過する瞬間に、質量 の物体 を の真上から静かにのせた（ の水平方向の速さは ）。 は瞬時に と一体となり、その後 と はすべることなく一体となって を中心とする単振動をした。のせるのにかかる時間はきわめて短く、そのあいだにばねが に与える力積は無視できるものとする。空気抵抗は無視し、物体の大きさは考えなくてよい。
その後の単振動の振幅は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。
OPQ右向き図は正確とは限りません 質量 の月の中心 を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 の探査機が回っている。軌道上で に最も近い点 での からの距離は 、最も遠い点 での からの距離は である。万有引力定数を とし、探査機にはたらく力は月からの万有引力だけとする（ほかの天体の影響は無視する）。また、月は静止しているものとし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。点 での探査機の速さを、, , を用いて表せ。
月の中心 O を焦点とする探査機の楕円軌道 長さ の軽くて伸びない糸の一端を点 に固定し、他端に質量 の小球を取り付ける。糸がたるまないように、小球を と同じ高さの点 まで持ち上げ（糸は水平）、静かにはなした。小球は を中心とする鉛直面内の円運動をして、 の真下の最下点 を通過した。
小球が を通過するときの糸の張力の大きさを、 と重力加速度の大きさ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視し、小球の大きさは無視できるものとする。
図は正確とは限りません なめらかな水平面の上で、ばね定数 の軽いばねの左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 の物体を取り付けた。ばねが自然の長さのときの物体の位置を とする。物体を から右向きに だけ引いて静かにはなすと、物体はばねの伸び縮みする方向に単振動をした。
物体が から の位置を通過するときの物体の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視する。
物体をはなす直前のようす 太陽のまわりを公転するある小惑星の軌道はだ円で、その軌道の長半径（半長軸の長さ）は、地球の公転軌道の半径の 倍である。地球の公転軌道は太陽を中心とする半径一定の円とみなし、地球の公転周期を 年とする。
この小惑星の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、地球と小惑星はどちらも太陽からの万有引力だけを受けて運動しているとし、ほかの天体の影響は考えなくてよい。
地球小惑星太陽図は正確とは限りません 長さ の軽くて伸びない糸の一端を点 に固定し、他端に質量 の小球を取り付けて、小球を の真下の点 に静止させた。この小球に、 で水平方向に速さ を与えたところ、小球は糸がたるむことなく、 を中心とする鉛直面内の円運動をして、 の真上の点 （円の最高点）を通過した。重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。
小球が を通過する瞬間の、糸が小球を引く力（張力）の大きさを、, , , を用いて表せ。
長さ の軽くて伸びない糸の一端を点 に固定し、他端に小球を付けて単振り子をつくる。 の真下で、 から距離 の点 に細いくぎを打つ。小球が最下点 （ の真下）を通るとき、糸はくぎに触れずに鉛直になる。小球を の右側に少し引いて静かにはなすと、小球は の右側では を中心に、 の左側では糸がくぎ にかかって を中心に振れ、左右をくり返し往復した。
振れの角はどちらの側でも十分小さく、それぞれの側の運動は単振り子の運動とみなせるとする。重力加速度の大きさを とし、空気抵抗とくぎの太さは無視する。この運動の周期（小球がはなした位置にはじめて戻るまでの時間）を、, を用いて表せ。
破線は右側・左側に振れたときのようす（振れの角は誇張している） ばね定数 の軽いばねの上端を天井に固定し、下端に質量 のおもりをつるす。おもりがつりあって静止する位置を とする。
おもりを から鉛直下向きに 引き下げて静かにはなしたところ、おもりは を中心として鉛直方向に単振動した。おもりが から 上の位置を通過するときの、おもりの速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視し、おもりはばねの方向（鉛直方向）にだけ動くものとする。
0.20 kg0.10 m20 N/m破線はつりあいの位置 O と、はなした位置 道路の一部が、鉛直面内で上に凸の円弧になっている。この円弧の中心を 、半径を とし、円弧の最高点を とする（ は の真上にある）。
自動車がこの道路を一定の速さで走り、 を通過した。 を通過するとき、自動車が道路から受ける垂直抗力の大きさは、自動車にはたらく重力の大きさのちょうど半分であった。このときの自動車の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、自動車は大きさの無視できる物体とみなし、重力加速度の大きさを とする。
40 mある彗星が、太陽 を 1 つの焦点とするだ円軌道をえがいて公転している。この軌道上で彗星が太陽にもっとも近づく点を 、もっとも遠ざかる点を とすると、 と の距離は 、 と の距離は である。
彗星が を通過するときの速さを とする。彗星が を通過するときの速さを、 を用いて表せ。ただし、彗星は太陽からの万有引力だけを受けて運動するものとし、太陽は静止しているとみなす。
なめらかな水平面の上に、軽いばねを水平に置いて左端を鉛直な壁に固定し、右端に小物体を取り付ける。ばねが自然の長さのときの小物体の位置を とする。小物体は、 を中心とし、ばねの方向に振幅 で単振動している。
小物体の運動エネルギーと、ばねの弾性エネルギーが等しくなるときの、小物体の からの距離を を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視する。
長さ の軽くて伸びない糸の一端を点 に固定し、他端に質量 の小球を付ける。糸がたるまないようにして、糸が水平になる位置 まで小球を持ち上げ、静かにはなしたところ、小球は を中心とする鉛直面内の円周上を運動した。重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。
糸が鉛直下向きと の角をなす位置 （ より下で、 と同じ側）を小球が通過する瞬間の、糸の張力の大きさを , を用いて表せ。
鉛直面内に固定された、中心 、半径 のなめらかな円筒面の内側を、小球が運動する。円筒面の最下点を とする。小球を で円筒面の内側にそって水平に速さ で動き出させたところ、小球は円筒面の内側をすべり上がり、ある点 で円筒面から離れた。重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できるものとする。
点 の、点 からの高さを を用いて表せ。
図は正確とは限りません 長さ の軽くて変形しない細い棒の一端を点 に取り付け、棒が を中心として鉛直面内でなめらかに回転できるようにする。棒の他端には質量 の小球を固定する。小球が の真下の最下点にあるとき、小球に水平方向の速さ を与えたところ、小球は鉛直面内で円運動をして、 の真上の最高点を通過した。
小球が最高点を通過する瞬間に、棒が小球に及ぼす力の大きさを、 と を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗と回転軸での摩擦は無視する。
最高点最下点で速さを与えたときのようす 水平な床の上に、中心 、半径 のなめらかな半球を、平らな面を下にして固定する。半球の最上点を とする。
大きさの無視できる小物体を に置き、水平方向に速さ を与えたところ、小物体は半球の表面にそって、 を通る鉛直面内で円運動を始め、やがて途中の点 で半球の表面から離れた。 とするとき、 の値を求めよ。
ただし、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。
地球を、中心 、半径 の一様な球とし、地表での重力加速度の大きさを とする。地球の自転と、地球以外の天体の影響、空気抵抗は無視する。
人工衛星が、 を中心とする半径 の円軌道を回っている。この衛星が円軌道上の点 を通過する瞬間に、進行方向に短時間だけエンジンを噴射して速さを増し、だ円軌道に移った。噴射は瞬間的に行われ、その間に衛星の位置は変わらず、速度の向きも変わらないものとする。移ったあとのだ円軌道では、 が地球に最も近い点（近地点）であり、地球から最も遠い点（遠地点） と の距離は であった。
噴射直後の、点 における衛星の速さを、, を用いて表せ。
地球破線の円は半径 の円軌道、実線はだ円軌道 長さ の軽くて伸びない糸の一端を点 に固定し、他端に質量 の小球を取り付ける。 の真下 の点 には、細いくぎが糸の運動する鉛直面に垂直に固定されている。また、 の真下 の点を とする。
糸がたるまないようにして、糸が水平になる点 まで小球を持ち上げ、静かにはなした。小球は鉛直面内で を中心とする円弧をえがいて最下点 に達し、そのあと糸がくぎ にかかって、小球は を中心とする半径 の円運動を始めた。この円の最高点を とする。
小球が を通過するときの糸の張力の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗、小球の大きさ、くぎの太さ、糸とくぎのあいだの摩擦は無視する。
1.0 m0.70 m地球を、中心 、半径 の一様な球とみなす。地表での重力加速度の大きさを とし、地球の自転と、地球以外の天体からの影響は考えない。
質量 の人工衛星が、 を中心とする半径 の円軌道をまわっている。この人工衛星を、 を中心とする半径 の円軌道に移す。人工衛星の力学的エネルギー（運動エネルギーと万有引力による位置エネルギーの和）は、移す前と移したあとでどれだけ増加するか。, , を用いて表せ。ただし、万有引力による位置エネルギーの基準は無限遠とし、人工衛星の質量は地球の質量に比べて十分小さいものとする。
人工衛星地球鉛直な回転軸に、細くてなめらかな棒が水平に取り付けられており、棒は回転軸のまわりに水平面内で回転できる。棒には、質量 の小球 と、質量 の小球 が通してあり、どちらも棒にそってなめらかに動ける。回転軸と は、ばね定数 、自然の長さ の軽いばね 1 でつながれ、 と は、ばね定数 、自然の長さ の軽いばね 2 でつながれている。 は より回転軸から遠い側にある。
棒を一定の角速度 で回転させたところ、2 つのばねの長さが一定のまま、 と は棒とともに等速円運動をした。このときの、回転軸から までの距離を を用いて表せ。ただし、小球の大きさとばねの質量は無視し、ばねは棒にそって伸び縮みするものとする。
ばね 1ばね 2回転軸棒回転軸を含む鉛直面で見たようす（縮尺は正確ではない） 頂点 を下に向け、中心軸を鉛直にして置かれた円錐形の容器がある。容器の内面（円錐面）を中心軸を含む鉛直な平面で切ると、内面の線は水平面と角 をなし、 である。この容器は中心軸のまわりに一定の角速度で回転させることができる。
容器の内面上の、中心軸からの距離が の点 に、大きさの無視できる小物体を置く。小物体と内面のあいだの静止摩擦係数は である。容器を一定の角速度 で回転させたところ、小物体は内面に対してすべらずに にとどまり、容器と一緒に半径 の等速円運動をした。重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。
小物体が内面に対してすべらずに にとどまることができる の最大値を、, を用いて表せ。
中心軸中心軸を含む鉛直な断面 なめらかな水平な床の上に、ばね定数 の軽いばねを水平に置き、その左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 の物体 を取り付ける。ばねが自然の長さのときの の位置を とし、 を原点として壁から遠ざかる向き（右向き）を 軸の正の向きとする。 は 軸上を振幅 で単振動している。
が の位置を右向きに通過する瞬間に、 の真上のわずかな高さから静かにはなした質量 の粘土 が の上面に落ち、すぐに と一体になった。その後、 と は一体となって 軸上を単振動した。
粘土 が に落ちる直前の の速度は鉛直下向きで、水平方向の成分は とする。 が と一体になるまでの時間はきわめて短く、そのあいだの の位置の変化は無視できるものとする。 や の大きさ、空気抵抗は無視する。
一体となったあとの単振動の振幅を、, , を用いて表せ。
PQなめらかな水平な床の上に、ばね定数 の軽いばねを水平に置き、左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 の小物体を取り付ける。ばねが自然の長さのときの小物体の位置を とし、 から右へ距離 の位置に、床に垂直な固い板 を固定する。小物体はばねの方向（左右の方向）にだけ動くものとする。
小物体を から左へ の位置まで動かし（ばねは 縮む）、静かにはなした。小物体は右へ動いて板 に弾性衝突し、はね返った。その後、小物体は板 との弾性衝突をくり返しながら、同じ運動を周期的にくり返した。
この周期的な運動の周期を、, を用いて表せ。ただし、小物体の大きさ、空気抵抗は無視し、衝突にかかる時間は無視できるものとする。
小物体の大きさは無視する（図では箱で表している） 鉛直に立てた細い回転軸の上に、距離 だけ離れた 2 点 , があり、 は の真上にある。長さ の軽くて伸びない 2 本の糸の一端をそれぞれ , に固定し、他端をどちらも質量 の小球 に取り付ける。
回転軸を一定の角速度 で回転させたところ、2 本の糸がどちらもたるまずに張った状態で、 は三角形 が正三角形となる位置で水平面内の等速円運動をした。このとき、 と を結ぶ糸の張力の大きさを、, , , を用いて表せ。
ただし、重力加速度の大きさを とし、 とする。空気抵抗と小球の大きさは無視する。
水平面と角 （）をなすなめらかな斜面の上に台車を置く。台車の天井の一点に、長さ の軽くて伸びない糸の一端を固定し、他端に小球をつるして単振り子をつくる。
台車が斜面にそって自由にすべり下りているあいだに、台車に対して小球を、つりあいの位置から斜面の最大傾斜の方向を含む鉛直面内で小さく振動させた。台車から見たこの振り子の周期を、, , を用いて表せ。
ただし、重力加速度の大きさを とし、台車と斜面のあいだの摩擦、空気抵抗は無視する。台車の質量は小球の質量に比べて十分大きく、小球の振動は台車の運動に影響しないものとする。また、振り子の振れは十分小さく、糸は台車の天井や壁にふれないものとする。
台車は斜面にそってすべり下りる（図は振り子がつりあいの位置にあるとき） 水平な床の上に、ばね定数 の軽いばねを鉛直に立て、下端を床に固定する。ばねの上端には質量の無視できる薄い板が取り付けてあり、ばねは自然の長さになっている。
板の真上、板から高さ の位置から、質量 の小球を静かにはなした。小球は板に当たったあと、板から離れずにばねを縮めながら運動した。小球が板に接しているあいだ、小球は単振動の一部の運動をする。ばねの縮みの最大値を、, , , を用いて表せ。
ただし、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗と小球の大きさは無視する。小球と板の衝突でエネルギーは失われず、ばねは鉛直方向にだけ伸び縮みするものとする。
小球をはなした位置（ばねは自然の長さ）
条件に合う問題はありません。