円運動・単振動・万有引力の問題

質量 $M$、半径 $R$ の地球の表面上の点 $\mathrm{P}$ から、質量 $m$ の小物体を鉛直上向きに初速 $v_0$ で打ち上げたところ、小物体は地球の中心 $\mathrm{O}$ から距離 $3R$ の点 $\mathrm{Q}$ まで上がって、そこで一瞬止まった。万有引力定数を $G$ とし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準として、中心 $\mathrm{O}$ から距離 $r$（$r\ge R$）の位置で $-G\frac{Mm}{r}$ と表されるものとする。空気抵抗・地球の自転・地球以外の天体の影響は無視し、地球は静止しているものとする。初速 $v_0$ を $G$, $M$, $R$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の地球の表面から、質量 $m$ の小物体を鉛直上向きに速さ $v_0=\sqrt{\frac{GM}{R}}$ で打ち上げた。万有引力定数を $G$ とし、万有引力による位置エネルギーの基準を無限遠にとる。小物体が最も高く上がったとき、地球の中心から小物体までの距離を、$R$ を用いて表せ。ただし、地球は一様な球で静止しているものとし、地球の自転、空気抵抗、地球以外の天体からの万有引力は無視する。

地球を半径 $R$ の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。人工衛星 S が、地球の中心 O を中心とする半径 $2R$ の円軌道（地表からの高さ $R$）上を等速円運動している。万有引力定数を $G$、地球の質量を $M$ とし、地表の重力は地球からの万有引力に等しい（地球の自転の影響は無視する）とする。人工衛星 S の速さ $v$ を、$g$ と $R$ を用いて表せ。ただし、衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。

地球を、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。人工衛星 $\mathrm{P}$ が、地表からの高さ $R$ のところを、$\mathrm{O}$ を中心とする円軌道にそって等速円運動している。$\mathrm{P}$ にはたらく力は地球からの万有引力だけとし、地球の自転の影響は考えない。万有引力定数を $G$、地球の質量を $M$ とすると、地表の重力は地球からの万有引力であるとみなせるので、$GM=g{R}^2$ が成り立つ。このとき、$\mathrm{P}$ の速さを $g$, $R$ を用いて表せ。

質量 $M$ の月の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の探査機が回っている。軌道上で $\mathrm{O}$ に最も近い点 $\mathrm{P}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $r$、最も遠い点 $\mathrm{Q}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、探査機にはたらく力は月からの万有引力だけとする（ほかの天体の影響は無視する）。また、月は静止しているものとし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。点 $\mathrm{Q}$ での探査機の速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。