円運動・単振動・万有引力の問題

質量 $M$、半径 $R$ の地球の表面上の点 $\mathrm{P}$ から、質量 $m$ の小物体を鉛直上向きに初速 $v_0$ で打ち上げたところ、小物体は地球の中心 $\mathrm{O}$ から距離 $3R$ の点 $\mathrm{Q}$ まで上がって、そこで一瞬止まった。万有引力定数を $G$ とし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準として、中心 $\mathrm{O}$ から距離 $r$（$r\ge R$）の位置で $-G\frac{Mm}{r}$ と表されるものとする。空気抵抗・地球の自転・地球以外の天体の影響は無視し、地球は静止しているものとする。初速 $v_0$ を $G$, $M$, $R$ を用いて表せ。

地球を、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$、質量 $M$ の一様な球とみなす。万有引力定数を $G$、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。地球の自転、空気抵抗、地球以外の天体の影響は無視する。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準にとり、地球の中心から距離 $r$ の位置にある質量 $m$ の物体について $U=-G\frac{Mm}{r}$ と表される。

地球の中心 $\mathrm{O}$ から距離 $4R$ の点 $\mathrm{A}$ で、質量 $m$ の小物体を静かにはなしたところ、小物体は直線 $\mathrm{OA}$ に沿って落下し、地表の点 $\mathrm{B}$ に達した。小物体が点 $\mathrm{B}$ に達する直前の速さを、$g$ と $R$ を用いて表せ。

質量 $M$ の地球の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の人工衛星が運動している。地球の中心から最も近い点（近地点）$\mathrm{P}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $r$、最も遠い点（遠地点）$\mathrm{Q}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、人工衛星には地球からの万有引力だけがはたらき、地球は静止しているものとする。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。人工衛星が近地点 $\mathrm{P}$ を通過するときの速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。

質量 $M$ の月の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の探査機が回っている。軌道上で $\mathrm{O}$ に最も近い点 $\mathrm{P}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $r$、最も遠い点 $\mathrm{Q}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、探査機にはたらく力は月からの万有引力だけとする（ほかの天体の影響は無視する）。また、月は静止しているものとし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。点 $\mathrm{Q}$ での探査機の速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。

質量 $M$ の地球の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道上を、質量 $m$ の人工衛星が回っている。軌道上で $\mathrm{O}$ に最も近い点（近地点）を $\mathrm{P}$、最も遠い点（遠地点）を $\mathrm{Q}$ とし、$\mathrm{OP}=r$、$\mathrm{OQ}=3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、衛星には地球からの万有引力だけがはたらくものとする。地球は静止しているとみなし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準として $-G\frac{Mm}{(\text{Oからの距離})}$ で表されるものとする。近地点 $\mathrm{P}$ での衛星の速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。