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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

質量 $M$ の地球の中心 $O$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の人工衛星が運動している。地球の中心から最も近い点（近地点） $P$ での $O$ からの距離は $r$ 、最も遠い点（遠地点） $Q$ での $O$ からの距離は $3 r$ である。万有引力定数を $G$ とし、人工衛星には地球からの万有引力だけがはたらき、地球は静止しているものとする。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。人工衛星が近地点 $P$ を通過するときの速さを、 $G$ , $M$ , $r$ を用いて表せ。

O

P

Q

r

3 r

地球の中心 O を焦点とする楕円軌道（図は正確とは限りません）

この問題で使うもの

楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「楕円軌道の速さ」の技能を使います。面積速度一定の式と、万有引力の位置エネルギーを含む力学的エネルギー保存の式の 2 つを連立しましょう。

ヒント 2

近地点・遠地点では速度が $OP$ ・ $OQ$ に垂直なので、面積速度一定から $\frac{1}{2} r v_{P} = \frac{1}{2} \cdot 3 r \cdot v_{Q}$ が成り立ちます。エネルギー保存は $\frac{1}{2} m v_{P}^{2} - G \frac{M m}{r} = \frac{1}{2} m v_{Q}^{2} - G \frac{M m}{3 r}$ です。

ヒント 3

1 つ目の式から $v_{Q} = \frac{v _{P}}{3}$ です。これを 2 つ目の式に代入して整理すると $\frac{4}{9} v_{P}^{2} = \frac{2 GM}{3 r}$ になります。

答えと解説

答えを見る

\frac{3 GM}{2 r}

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解説を読む

近地点 $P$ での速さを $v_{P}$ 、遠地点 $Q$ での速さを $v_{Q}$ とする。

手順 1: 面積速度一定の式を立てる。
近地点と遠地点では、速度の向きが $O$ と衛星を結ぶ線分に垂直である。そのため、面積速度はそれぞれ $\frac{1}{2} r v_{P}$ 、 $\frac{1}{2} \cdot 3 r \cdot v_{Q}$ と表せる。ケプラーの第 2 法則（面積速度一定）より
$\frac{1}{2} r v_{P} = \frac{1}{2} \cdot 3 r \cdot v_{Q}$
である。これを解くと $v_{Q} = \frac{v _{P}}{3} (1)$ となる。

手順 2: 力学的エネルギー保存の式を立てる。
衛星にはたらく力は保存力である万有引力だけなので、力学的エネルギーは保存する。万有引力による位置エネルギー $- G \frac{M m}{r}$ を使うと
$\frac{1}{2} m v_{P}^{2} - G \frac{M m}{r} = \frac{1}{2} m v_{Q}^{2} - G \frac{M m}{3 r} (2)$
となる。

手順 3: 連立して解く。
$(1)$ を $(2)$ に代入し、両辺を $m$ で割ると
$\frac{1}{2} v_{P}^{2} - \frac{GM}{r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{v _{P}^{2}}{9} - \frac{GM}{3 r}$
となる。 $v_{P}^{2}$ の項を左辺に、 $GM$ の項を右辺に集めると
$\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{9}) v_{P}^{2} = \frac{GM}{r} - \frac{GM}{3 r}$
$\frac{4}{9} v_{P}^{2} = \frac{2 GM}{3 r}$
$v_{P}^{2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2 GM}{3 r} = \frac{3 GM}{2 r}$
が得られる。 $v_{P} > 0$ より
$v_{P} = \frac{3 GM}{2 r}$
である。

（参考: このとき $v_{Q} = \frac{1}{3} \frac{3 GM}{2 r}$ となり、近地点の方が速い。）

別解

近地点 P での速さを $v_{P}$ 、遠地点 Q での速さを $v_{Q}$ とする。

角運動量保存則（ケプラーの第2法則）より、P と Q では速度が動径に垂直なので
$m r v_{P} = m (3 r) v_{Q}$ より $v_{Q} = \frac{v _{P}}{3}$ …①

力学的エネルギー保存則より
$\frac{1}{2} m v_{P}^{2} - \frac{GM m}{r} = \frac{1}{2} m v_{Q}^{2} - \frac{GM m}{3 r}$ …②

①を②に代入すると
$\frac{1}{2} v_{P}^{2} (1 - \frac{1}{9}) = \frac{GM}{r} (1 - \frac{1}{3})$
$\frac{4}{9} v_{P}^{2} = \frac{2 GM}{3 r}$
$v_{P}^{2} = \frac{3 GM}{2 r}$

よって $v_{P} = \frac{3 GM}{2 r}$ 。

検算： $v_{Q}^{2} = v_{P}^{2} /9 = \frac{GM}{6 r}$ 。②の左辺は $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 GM}{2 r} - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{4 r}$ 。右辺は $\frac{1}{2} \cdot \frac{GM}{6 r} - \frac{GM}{3 r} = \frac{GM}{12 r} - \frac{4 GM}{12 r} = - \frac{GM}{4 r}$ 。一致する。

（長半径 $a = 2 r$ なので、力学的エネルギー $- GM m / (2 a) = - GM m / (4 r)$ とも一致する。）

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