楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）

楕円軌道の近地点・遠地点について、面積速度一定 $\frac{1}{2} r_{1} v_{1} = \frac{1}{2} r_{2} v_{2}$ と万有引力を含む力学的エネルギー保存の式を連立して、近地点・遠地点での速さを求められる

前提

万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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算数中学高校大学大学院

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説明

人工衛星や惑星が楕円軌道を回るとき、中心天体に最も近い点（近地点）と最も遠い点（遠地点）での速さを求められるようになります。使うのは「面積速度一定」と「万有引力の位置エネルギーを含む力学的エネルギー保存」の 2 本の式です。近地点・遠地点の距離 $r_{1}, r_{2}$ がわかっていれば、2 つの未知数 $v_{1}, v_{2}$ を連立方程式で決められます。

なぜそうしてよいのか

近地点と遠地点では、中心天体からの距離 $r$ が最小・最大になります。距離が増えも減りもしない瞬間なので、速度には中心に向かう成分（動径方向の成分）がありません。つまり速度は動径（中心と衛星を結ぶ線分）に垂直です。このとき短い時間 $Δ t$ の間に動径が掃く図形は、底辺 $r$ 、高さ $v Δ t$ の細い三角形とみなせます。その面積は $\frac{1}{2} r v Δ t$ なので、面積速度（単位時間あたりに掃く面積）は $\frac{1}{2} r v$ です。ケプラーの第 2 法則より面積速度は軌道上どこでも同じなので、 $\frac{1}{2} r_{1} v_{1} = \frac{1}{2} r_{2} v_{2}$ 、つまり $r_{1} v_{1} = r_{2} v_{2}$ が成り立ちます。

さらに、衛星にはたらく力は万有引力だけです。万有引力は位置エネルギー $U = - G \frac{M m}{r}$ （無限遠が基準）をもつ保存力なので、力学的エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2} - G \frac{M m}{r}$ は軌道上で一定です。面積速度の式は「遠いほど遅い」という速さの比を決め、エネルギーの式は速さの大きさそのものを決めます。そのため 2 式を連立すると $v_{1}, v_{2}$ が 1 つに決まります。

一般の結果は $v_{1} = \frac{2 GM r _{2}}{r _{1} ( r _{1} + r _{2} )}$ です。 $r_{1} = r_{2} = r$ （円軌道）とおくと $\frac{GM}{r}$ となり、円軌道の衛星の速さと一致することも確かめられます。

手順

近地点・遠地点の中心からの距離を $r_{1}$ , $r_{2}$ 、そこでの速さを $v_{1}$ , $v_{2}$ とおく（この 2 点では速度が動径に垂直であることを確認する）
面積速度一定の式を立てる： $\frac{1}{2} r_{1} v_{1} = \frac{1}{2} r_{2} v_{2}$ より $v_{2} = \frac{r _{1}}{r _{2}} v_{1}$
力学的エネルギー保存の式を立てる： $\frac{1}{2} m v_{1}^{2} - G \frac{M m}{r _{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - G \frac{M m}{r _{2}}$
エネルギーの式に $v_{2} = \frac{r _{1}}{r _{2}} v_{1}$ を代入して $v_{1}^{2}$ について解き、 $v_{1} > 0$ をとる
求めた $v_{1}$ を $v_{2} = \frac{r _{1}}{r _{2}} v_{1}$ に戻せば、遠地点の速さも得られる

例題

質量 $M$ の地球の中心を 1 つの焦点とする楕円軌道を、質量 $m$ の人工衛星が回っている。近地点での地球の中心からの距離は $r$ 、遠地点での地球の中心からの距離は $3 r$ である。万有引力定数を $G$ とし、地球は静止しているものとみなし、衛星には地球からの万有引力だけがはたらくとする。万有引力による位置エネルギーの基準は無限遠とする。近地点での衛星の速さ $v_{1}$ を求めよ。

例題の解答

手順1：近地点の距離を $r$ 、速さを $v_{1}$ 、遠地点の距離を $3 r$ 、速さを $v_{2}$ とおく。この 2 点では速度は動径に垂直である。

手順2：面積速度一定より $\frac{1}{2} r v_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 r \cdot v_{2}$ 。よって $v_{2} = \frac{v _{1}}{3}$ 。

手順3：力学的エネルギー保存より
$\frac{1}{2} m v_{1}^{2} - G \frac{M m}{r} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - G \frac{M m}{3 r}$

手順4： $v_{2} = \frac{v _{1}}{3}$ を代入し、両辺を $m$ で割って整理する。
$\frac{1}{2} v_{1}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{v _{1}^{2}}{9} = \frac{GM}{r} - \frac{GM}{3 r}$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} v_{1}^{2} = \frac{2 GM}{3 r} ⟹ v_{1}^{2} = \frac{3 GM}{2 r}$
$v_{1} > 0$ より $v_{1} = \frac{3 GM}{2 r}$ 。

手順5（確認）：遠地点の速さは $v_{2} = \frac{1}{3} \frac{3 GM}{2 r} = \frac{GM}{6 r}$ となり、近地点のほうが速いので第 2 法則と合う。また $v_{1}$ は半径 $r$ の円軌道の速さ $\frac{GM}{r}$ より大きい。円軌道より速いぶん外側へ膨らんだ楕円軌道になる、という事実とも整合する。

答え: $\frac{3 GM}{2 r}$

よくある誤り

近地点・遠地点以外の点でも $\frac{1}{2} r v$ を面積速度としてしまう誤り。正しくは、速度と動径のなす角を $θ$ として面積速度は $\frac{1}{2} r v sin θ$ である。 $\frac{1}{2} r_{1} v_{1} = \frac{1}{2} r_{2} v_{2}$ がそのまま使えるのは、速度が動径に垂直（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）な近地点・遠地点だけである。
近地点の速さを円軌道の公式で $v_{1} = \frac{GM}{r _{1}}$ としてしまう誤り。正しくは、楕円軌道では軌道の曲がり具合が半径 $r_{1}$ の円と違うため、向心力の式 $m \frac{v ^{2}}{r _{1}} = G \frac{M m}{r _{1}^{2}}$ は成り立たない。面積速度一定とエネルギー保存を連立して $v_{1} = \frac{2 GM r _{2}}{r _{1} ( r _{1} + r _{2} )}$ を求める。
位置エネルギーの符号を落として $\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + G \frac{M m}{r _{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + G \frac{M m}{r _{2}}$ としてしまう誤り。正しくは $U = - G \frac{M m}{r}$ なので $\frac{1}{2} m v_{1}^{2} - G \frac{M m}{r _{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - G \frac{M m}{r _{2}}$ である。符号を誤った式に $v_{2} = \frac{r _{1}}{r _{2}} v_{1}$ を代入すると $v_{1}^{2}$ が負になり、実数の解が得られない。また、符号を誤ったエネルギーの式だけを見ると $r_{1} < r_{2}$ から $v_{1} < v_{2}$ （近地点のほうが遅い）となり、第 2 法則と矛盾する。
面積速度の比を逆にして $v_{2} = \frac{r _{2}}{r _{1}} v_{1}$ としてしまう誤り。正しくは $r_{1} v_{1} = r_{2} v_{2}$ より $v_{2} = \frac{r _{1}}{r _{2}} v_{1}$ で、遠い点ほど遅い（例題では $v_{2} = \frac{v _{1}}{3}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））