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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理円運動・単振動・万有引力

地球を、中心 $O$ 、半径 $R$ の一様な球とし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。地球の自転と、地球以外の天体の影響、空気抵抗は無視する。

人工衛星が、 $O$ を中心とする半径 $2 R$ の円軌道を回っている。この衛星が円軌道上の点 $P$ を通過する瞬間に、進行方向に短時間だけエンジンを噴射して速さを増し、だ円軌道に移った。噴射は瞬間的に行われ、その間に衛星の位置は変わらず、速度の向きも変わらないものとする。移ったあとのだ円軌道では、 $P$ が地球に最も近い点（近地点）であり、地球から最も遠い点（遠地点） $Q$ と $O$ の距離は $6 R$ であった。

噴射直後の、点 $P$ における衛星の速さを、 $g$ , $R$ を用いて表せ。

O

P

Q

2 R

6 R

地球

破線の円は半径

2 R

の円軌道、実線はだ円軌道

この問題で使うもの

楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（説明と入口の問題）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

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ヒント

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ヒント 1

近地点 $P$ と遠地点 $Q$ の速さを結びつける法則と、エネルギーの関係の 2 つを使う。

ヒント 2

面積速度一定から $2 R \cdot v_{P} = 6 R \cdot v_{Q}$ 。万有引力による位置エネルギーは $- \frac{GM m}{r}$ で、 $GM = g R^{2}$ である。

ヒント 3

$v_{Q} = \frac{v _{P}}{3}$ をエネルギー保存の式に代入すると、 $\frac{4}{9} v_{P}^{2} = \frac{GM}{3 R}$ になる。

答えと解説

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\frac{3 g R}{2}

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解説を読む

地球の質量を $M$ 、万有引力定数を $G$ 、衛星の質量を $m$ とする。地表で万有引力が重力に等しいので $\frac{GM m}{R ^{2}} = m g$ 、すなわち
$GM = g R^{2}$
である。

噴射直後の点 $P$ での速さを $v_{P}$ 、遠地点 $Q$ での速さを $v_{Q}$ とする。近地点と遠地点では速度の向きが $O$ からの向きに垂直である。

ケプラーの第 2 法則（面積速度一定） 衛星には $O$ を向く万有引力だけがはたらくので、面積速度は一定である。 $P$ と $Q$ で
$\frac{1}{2} \cdot 2 R \cdot v_{P} = \frac{1}{2} \cdot 6 R \cdot v_{Q} より v_{Q} = \frac{v _{P}}{3}$

力学的エネルギー保存 噴射後は万有引力（保存力）だけがはたらくので、力学的エネルギーが保存する。
$\frac{1}{2} m v_{P}^{2} - \frac{GM m}{2 R} = \frac{1}{2} m v_{Q}^{2} - \frac{GM m}{6 R}$
$v_{Q} = \frac{v _{P}}{3}$ を代入して整理すると
$\frac{1}{2} v_{P}^{2} (1 - \frac{1}{9}) = \frac{GM}{2 R} - \frac{GM}{6 R} = \frac{GM}{3 R}$
$\frac{4}{9} v_{P}^{2} = \frac{GM}{3 R}, v_{P}^{2} = \frac{3 GM}{4 R} = \frac{3}{4} g R$
よって
$v_{P} = \frac{3 g R}{2}$

（参考: 半径 $2 R$ の円軌道の速さは $\frac{GM}{2 R} = \frac{g R}{2}$ で、 $v_{P}$ はその $\frac{3}{2}$ 倍になっている。）

答え: $\frac{3 g R}{2}$

別解

地球の質量を $M$ 、万有引力定数を $G$ とすると、地表で $m g = \frac{GM m}{R ^{2}}$ より $GM = g R^{2}$ 。

噴射直後の P での速さを $v_{P}$ 、遠地点 Q での速さを $v_{Q}$ とする。P は近地点で距離 $2 R$ 、Q は遠地点で距離 $6 R$ 。

面積速度一定（角運動量保存）: P, Q では速度が位置ベクトルに垂直なので
$2 R v_{P} = 6 R v_{Q}$ より $v_{Q} = \frac{v _{P}}{3}$ 。

力学的エネルギー保存:
$\frac{1}{2} m v_{P}^{2} - \frac{GM m}{2 R} = \frac{1}{2} m v_{Q}^{2} - \frac{GM m}{6 R}$

$v_{Q} = v_{P} /3$ を代入して
$\frac{1}{2} v_{P}^{2} (1 - \frac{1}{9}) = GM (\frac{1}{2 R} - \frac{1}{6 R})$
$\frac{4}{9} v_{P}^{2} = \frac{GM}{3 R}$
$v_{P}^{2} = \frac{3 GM}{4 R} = \frac{3 g R}{4}$

よって $v_{P} = \frac{3 g R}{4} = \frac{3 g R}{2}$ 。

検算: だ円の長半径 $a = (2 R + 6 R) /2 = 4 R$ 。ヴィス・ヴィヴァの式 $v^{2} = GM (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ に $r = 2 R$ を代入すると $v^{2} = GM (\frac{1}{R} - \frac{1}{4 R}) = \frac{3 GM}{4 R}$ で一致する。

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