向心力と円運動の運動方程式

水平面内で等速円運動する物体（糸につけた小球、回転台上の物体、ばねにつながれた小球、円すい振り子など）について、中心向きの力の合力を求めて $m r ω^{2} = F$ （または $m \frac{v ^{2}}{r} = F$ ）を立て、張力・ばねの伸び・半径・角速度を求められる

前提

等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
運動方程式（高校物理力と運動）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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運動方程式（高校物理力と運動）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））

説明

水平面内で等速円運動している物体について、円の中心向きの力の合力を求めて運動方程式 $m r ω^{2} = F$ （または $m \frac{v ^{2}}{r} = F$ ）を立てる技能です。これを使うと、糸の張力、ばねの伸び、回転の半径、角速度などを求められます。糸につけた小球、回転台上の物体、ばねにつながれた小球、円すい振り子など、円運動の問題はこの式が出発点になります。

なぜそうしてよいのか

等速円運動では速さは変わりませんが、速度の向きは変わり続けます。そのため物体には、円の中心向きに大きさ $a = r ω^{2} = \frac{v ^{2}}{r}$ の加速度があります。運動方程式 $ma = F$ はどの向きの成分についても成り立つので、「中心向き」の成分だけを取り出すと $m \times r ω^{2} =$ （中心向きの力の合力）となります。これが円運動の運動方程式 $m r ω^{2} = F$ です。 $v = r ω$ を代入すると $m r ω^{2} = m \frac{v ^{2}}{r}$ なので、 $m \frac{v ^{2}}{r} = F$ と書いても同じです。

ここでの $F$ は新しい種類の力ではありません。張力・弾性力・摩擦力・重力など、実際にはたらいている力の中心向きの成分を足し合わせたもの（向心力）です。

一方、水平面内の円運動では高さが変わらないので、鉛直方向の加速度は $0$ です。したがって鉛直方向の力はつり合っています。また、速さが一定なので接線方向の力の合力も $0$ です。こうして「中心向きは運動方程式、鉛直方向はつり合い」の 2 本の式で問題が解けます。

手順

円の中心と半径 $r$ を確かめる。半径は物体が実際に描く円の半径で、糸やばねの長さと同じとは限らない（ばねが $x$ 伸びれば $r =$ 自然長 $+ x$ 、糸の長さ $l$ で鉛直と角 $θ$ をなす円すい振り子なら $r = l sin θ$ ）。
物体にはたらく力（重力・垂直抗力・張力・弾性力・摩擦力など）をすべて図示する。「向心力」という力を別に書き加えない。
それぞれの力を「円の中心向き（水平）」と「鉛直方向」の成分に分ける。
鉛直方向はつり合いの式を立て、中心向きは運動方程式 $m r ω^{2} = F$ （速さで表すときは $m \frac{v ^{2}}{r} = F$ ）を立てる。 $F$ は中心向き成分の合力である。
式を連立して未知の量を求め、0 で割っていないか、求めた値が正になるかなど、条件と矛盾しないかを確かめる。

例題

なめらかな水平面上で、ばね定数 $k$ 、自然長 $L$ の軽いばねの一端を面上の点 O に固定し、他端に質量 $m$ の小球をつける。小球は O を中心とする水平面内の円周上を、一定の角速度 $ω$ で等速円運動している。ばねは水平で一直線になっているものとし、重力加速度の大きさを $g$ とする（ $g$ は答えには現れない）。ただし $k > m ω^{2}$ とする。このときのばねの伸び $x$ を、 $k, L, m, ω$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順1（半径）: ばねが $x$ 伸びているので、小球と O の距離は $L + x$ である。よって円の半径は $r = L + x$ である。

手順2（力の図示）: 小球にはたらく力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）、面からの垂直抗力 $N$ （鉛直上向き）、ばねの弾性力 $k x$ （ばねが伸びているので小球を O に引き寄せる向き、つまり中心向き）の 3 つである。向心力を別に書き加えることはしない。

手順3（成分に分ける）: 重力と垂直抗力は鉛直方向の力で、中心向きの成分はない。中心向きの成分をもつのは弾性力 $k x$ だけである。

手順4（式を立てる）: 鉛直方向のつり合いは $N = m g$ である（これは $x$ を求めるのには使わないので、答えに $g$ は現れない）。中心向きの運動方程式は
$m (L + x) ω^{2} = k x$
となる。

手順5（解く・確かめる）: 展開して $x$ についてまとめると $m L ω^{2} = x (k - m ω^{2})$ となる。 $k > m ω^{2}$ より $k - m ω^{2} > 0$ なので、両辺をこれで割ってよい。
$x = \frac{m L ω ^{2}}{k - m ω ^{2}}$
この値は正であり、ばねが伸びているという設定と矛盾しない。

答え: $\frac{m L ω ^{2}}{k - m ω ^{2}}$

よくある誤り

ばねにつながれた小球で、半径を自然長 $L$ のままにしてしまう誤り。この場合 $m L ω^{2} = k x$ から $x = \frac{m L ω ^{2}}{k}$ となってしまう。正しくは半径は伸びた後の長さ $r = L + x$ で、 $m (L + x) ω^{2} = k x$ を解いて $x = \frac{m L ω ^{2}}{k - m ω ^{2}}$ となる。
向心力を実際の力とは別の力として図に書き加え、「張力 $T$ と向心力がつり合う」として $T - F_{向心} = 0$ のような式を立ててしまう誤り。円運動している物体の力はつり合っていない。正しくは、張力そのものが中心向きの力の役割をしており、運動方程式 $m r ω^{2} = T$ を立てる。
円すい振り子（長さ $l$ の糸が鉛直と角 $θ$ をなし、重力加速度の大きさ $g$ ）の角速度を求めるとき、半径を糸の長さ $l$ としてしまう誤り。 $T sin θ = m l ω^{2}$ と $T cos θ = m g$ から $ω^{2} = \frac{g tan θ}{l}$ となってしまう。また、張力 $T$ 全体を中心向きの力として $T = m (l sin θ) ω^{2}$ とすると $ω^{2} = \frac{g}{l sin θ cos θ}$ となってしまう。正しくは半径 $r = l sin θ$ 、中心向きの力は張力の水平成分 $T sin θ$ で、 $T sin θ = m (l sin θ) ω^{2}$ と $T cos θ = m g$ を連立して $ω^{2} = \frac{g}{l cos θ}$ 、つまり $ω = \frac{g}{l cos θ}$ となる。
$m \frac{v ^{2}}{r} = F$ と $m r ω^{2} = F$ を混同して $m \frac{ω ^{2}}{r} = F$ や $m r v^{2} = F$ と書いてしまう誤り。正しくは $v = r ω$ の関係から $m \frac{v ^{2}}{r} = m \frac{( r ω ) ^{2}}{r} = m r ω^{2}$ であり、速さなら $\frac{v ^{2}}{r}$ 、角速度なら $r ω^{2}$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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鉛直面内の円運動の張力・垂直抗力（高校物理円運動・単振動・万有引力）
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回転座標系と遠心力（大学物理力学（質点・剛体））