円軌道の人工衛星の速さと周期

万有引力 $G \frac{M m}{r ^{2}}$ を向心力として $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ を立て、 $GM = g R^{2}$ も使って、円軌道の衛星の速さ $v = \frac{GM}{r}$ ・周期・静止衛星の軌道半径を求められる

前提

向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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算数中学高校大学大学院

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向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

説明

地球のまわりを円軌道で回る人工衛星について、軌道半径 $r$ から速さ $v$ と周期 $T$ を式で求められるようになります。地球の質量 $M$ や万有引力定数 $G$ が与えられていなくても、地表の重力加速度 $g$ と地球の半径 $R$ を使って $GM = g R^{2}$ と置きかえれば計算できます。静止衛星の軌道半径を求めるときにも、同じ式を使います。

なぜそうしてよいのか

円軌道の衛星にはたらく力は、地球からの万有引力 $G \frac{M m}{r ^{2}}$ だけです。この力はつねに地球の中心を向いているので、これがそのまま向心力になります。そこで円運動の運動方程式 $m \frac{v ^{2}}{r} = F$ の $F$ に万有引力を入れると $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ となります。両辺の $m$ が消えるので $v^{2} = \frac{GM}{r}$ 、つまり $v = \frac{GM}{r}$ です。衛星の質量に関係なく、軌道半径だけで速さが決まります。また $r$ が大きいほど $v$ は小さくなります。

周期は、円周 $2 π r$ を速さ $v$ で割って $T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ です。逆に周期がわかっていれば、この式を $r^{3} = \frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}}$ と変形して軌道半径が求まります。静止衛星なら $T$ は地球の自転周期（約 1 日）です。

$GM = g R^{2}$ は、地表にある質量 $m$ の物体で考えると出てきます。地球の自転の影響を無視すれば、物体の重力 $m g$ は地表（中心からの距離 $R$ ）での万有引力に等しく、 $m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$ が成り立ちます。これを整理すると $GM = g R^{2}$ です。これで、なじみのある $g$ と $R$ だけで $GM$ を表せます。

手順

衛星の軌道半径 $r$ を地球の中心から測って決める（地表からの高さ $h$ が与えられたら $r = R + h$ ）
万有引力を向心力として運動方程式を立てる： $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$
$m$ を消して速さを求める： $v = \frac{GM}{r}$
$GM$ が与えられていなければ $GM = g R^{2}$ を代入する（ $g$ は地表の重力加速度、 $R$ は地球の半径）
周期は $T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ で求める。軌道半径を求めたいときは $r^{3} = \frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}}$ を使う

例題

地球を半径 $R$ の球とし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。地表からの高さ $R$ の円軌道を等速円運動する人工衛星の速さを、 $g$ , $R$ を用いて求めよ。地球の自転の影響と空気抵抗は無視する。

例題の解答

手順1：軌道半径は地球の中心から測るので $r = R + R = 2 R$ です。
手順2：地球の質量を $M$ 、衛星の質量を $m$ 、万有引力定数を $G$ とします。万有引力が向心力になるので、運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{2 R} = G \frac{M m}{( 2 R ) ^{2}}$ です。
手順3：両辺の $m$ を消して整理すると $v^{2} = \frac{GM}{2 R}$ となり、 $v = \frac{GM}{2 R}$ です。
手順4：地表では $m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$ なので $GM = g R^{2}$ です。これを代入すると $v = \frac{g R ^{2}}{2 R} = \frac{g R}{2}$ となります。

答え: $\frac{g R}{2}$

よくある誤り

地表からの高さ $h$ をそのまま軌道半径として $v = \frac{GM}{h}$ としてしまう誤り。正しくは、万有引力の距離は地球の中心から測るので $r = R + h$ として $v = \frac{GM}{R + h}$ とする。
軌道上でも重力加速度が $g$ のままだと考えて $m \frac{v ^{2}}{r} = m g$ とし、 $v = g r$ としてしまう誤り。正しくは、 $g$ は地表（距離 $R$ ）での値である。軌道上では $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ を立ててから $GM = g R^{2}$ を使い、 $v = \frac{g R ^{2}}{r}$ とする。
周期を $T = \frac{2 π}{v}$ や $T = \frac{r}{v}$ としてしまう誤り。正しくは、1 周の道のりは $2 π r$ なので $T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ となる。
静止衛星の軌道半径を求めるとき、 $T$ に「1（日）」や「24（時間）」をそのまま入れてしまう誤り。正しくは、 $G$ や $g$ の単位に合わせて秒に直し（ $T = 24 \times 60 \times 60 s$ ）、 $r = 3 \frac{g R ^{2} T ^{2}}{4 π ^{2}}$ のように 3 乗根まで計算する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）