万有引力による位置エネルギーと脱出速度

無限遠を基準とした万有引力による位置エネルギー $U = - G \frac{M m}{r}$ を使って力学的エネルギー保存の式を立て、地表から打ち上げた物体の到達距離、第二宇宙速度 $\frac{2 GM}{R}$ 、円軌道の衛星の力学的エネルギー $- G \frac{M m}{2 r}$ を求められる

前提

円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

地球のような天体から遠く離れると、重力の大きさは一定ではなくなるので、 $m g h$ の位置エネルギーは使えません。この技能では、天体の中心からの距離 $r$ で決まる万有引力による位置エネルギー $U = - G \frac{M m}{r}$ を使って、力学的エネルギー保存の式を立てます。これで、地表から打ち上げた物体がどこまで届くか、天体の引力を振り切るのに必要な速さ（第二宇宙速度）、円軌道を回る衛星の力学的エネルギーが求められます。

なぜそうしてよいのか

位置エネルギーは「その位置から基準の位置まで物体が動く間に、保存力がする仕事」です。たとえば $m g h$ は、高さ $h$ から基準の高さ $0$ まで下りる間に重力がする仕事 $m g h$ です。万有引力では基準を無限遠（ $r \to \infty$ ）にとり、中心から距離 $r$ の点から無限遠まで動く間に万有引力がする仕事を求めます。ただし力の大きさ $G \frac{M m}{r ^{2}}$ は距離で変わるので、「力×距離」を一度には計算できません。そこで道のりを細かい区間に分けて足し合わせます。

距離 $r_{1}$ から少しだけ外側の $r_{2}$ まで動く短い区間では、力の大きさは $G \frac{M m}{r _{1}^{2}}$ と $G \frac{M m}{r _{2}^{2}}$ の間にあります。区間が十分短ければ、力の大きさを $G \frac{M m}{r _{1} r _{2}}$ で代表させてかまいません。力は中心向き、移動は外向きなので、この区間で万有引力がする仕事は $- G \frac{M m}{r _{1} r _{2}} (r_{2} - r_{1}) = - GM m (\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}})$ です。 $r \to r_{1}^{'} \to r_{2}^{'} \to \dots \to \infty$ と区切って足すと、途中の項が次々に打ち消し合います。そのため合計は $- GM m (\frac{1}{r} - 0)$ になり、 $U = - G \frac{M m}{r}$ が得られます。万有引力は引き寄せる力なので、外へ動く間の仕事は負になります。そのため $U$ は常に負で、遠いほど $0$ に近づきます（大きくなります）。

万有引力は保存力なので、ほかの力が仕事をしなければ $\frac{1}{2} m v^{2} - G \frac{M m}{r}$ は一定に保たれます。地表付近で高さ $h$ だけ上がるときの増加量を計算すると $U (R + h) - U (R) = \frac{GM mh}{R ( R + h )}$ です。 $h ≪ R$ ならこれは $\frac{GM m}{R ^{2}} h = m g h$ となり、これまでの $m g h$ と一致します。円軌道の衛星では $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ から $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{GM m}{2 r}$ となり、力学的エネルギーは $\frac{GM m}{2 r} - \frac{GM m}{r} = - G \frac{M m}{2 r}$ です。

手順

比べる 2 つの瞬間（例: 打ち上げた瞬間と最高点）を決め、それぞれで天体の中心からの距離 $r$ を書く。地表なら $r = R$ 、高さ $h$ なら $r = R + h$ 。
それぞれの瞬間の力学的エネルギー $E = \frac{1}{2} m v^{2} - G \frac{M m}{r}$ を書く。円軌道なら $v^{2} = \frac{GM}{r}$ を使い、 $E = - G \frac{M m}{2 r}$ とする。
万有引力だけが仕事をするので、2 つの瞬間の $E$ を等しいとおく: $\frac{1}{2} m v_{1}^{2} - G \frac{M m}{r _{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - G \frac{M m}{r _{2}}$
$GM$ が与えられていなければ $GM = g R^{2}$ に置きかえ、求めたい量について解く。
脱出の条件は、無限遠（ $U = 0$ ）まで行けること、つまり $E \geq 0$ である。等号のときの速さが第二宇宙速度 $v = \frac{2 GM}{R} = 2 g R$ 。

例題

半径 $R$ の地球の表面から、物体を速さ $v_{0}$ で鉛直上向きに打ち上げる。地表での重力加速度の大きさを $g$ とし、 $v_{0} < 2 g R$ とする。空気抵抗と地球の自転は無視する。物体が最も高く上がったときの、地球の中心から物体までの距離 $r$ を $g$ , $R$ , $v_{0}$ で求めよ。

例題の解答

手順1: 比べるのは打ち上げた瞬間（中心からの距離 $R$ 、速さ $v_{0}$ ）と最高点（距離 $r$ 、速さ $0$ ）。
手順2: 地球の質量を $M$ 、物体の質量を $m$ とする。打ち上げ時の力学的エネルギーは $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - G \frac{M m}{R}$ 、最高点では $0 - G \frac{M m}{r}$ である。
手順3: 万有引力だけが仕事をするので
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - G \frac{M m}{R} = - G \frac{M m}{r}$
手順4: $GM = g R^{2}$ を代入して両辺を $m$ で割ると
$\frac{1}{2} v_{0}^{2} - g R = - \frac{g R ^{2}}{r}$
よって $\frac{g R ^{2}}{r} = \frac{2 g R - v _{0}^{2}}{2}$ となる。 $v_{0} < 2 g R$ より右辺は正なので、
$r = \frac{2 g R ^{2}}{2 g R - v _{0}^{2}}$
（確認: $v_{0} \to 2 g R$ で $r \to \infty$ となり、手順5の脱出の条件と合う。）

答え: $\frac{2 g R ^{2}}{2 g R - v _{0}^{2}}$

よくある誤り

$U = - G \frac{M m}{r}$ の $r$ に地表からの高さ $h$ を入れてしまう誤り。正しくは中心からの距離で、 $r = R + h$ を入れる。
負号を落として $U = + G \frac{M m}{r}$ としてしまう誤り。正しくは、無限遠を基準にすると $U = - G \frac{M m}{r} < 0$ で、遠ざかるほど $U$ は増える。
地表から遠くまで上がる運動に $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h$ を使ってしまう誤り。 $m g h$ は $h ≪ R$ のときの近似にすぎない。正しくは $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - G \frac{M m}{R} = - G \frac{M m}{R + h}$ を立てる。
円軌道の衛星の力学的エネルギーを位置エネルギーだけの $- G \frac{M m}{r}$ としたり、脱出速度を円軌道の速さ $\frac{GM}{R}$ と混同したりする誤り。正しくは衛星の力学的エネルギーは $- G \frac{M m}{2 r}$ 、第二宇宙速度は $\frac{2 GM}{R}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）
シュヴァルツシルト半径と重力赤方偏移（大学物理宇宙物理・宇宙論）
ビリアル定理（大学物理宇宙物理・宇宙論）