万有引力の法則

2 物体間の万有引力の大きさが $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ のように質量の積に比例し距離の 2 乗に反比例すること、地表の重力がおもに地球からの万有引力であること（ $GM = g R^{2}$ ）を正しく述べた文を選べる

前提

重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））

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重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））

説明

万有引力の法則は、質量をもつ 2 つの物体が、離れていても互いに引き合う力の大きさを表す法則です。この技能を身につけると、距離や質量を変えたときに万有引力が何倍になるかを判断できます。また、地表で物体にはたらく重力 $m g$ がおもに地球からの万有引力であることから導かれる関係 $GM = g R^{2}$ を使って、法則について述べた文の正誤を選べるようになります。

なぜそうしてよいのか

質量 $M$ と $m$ の 2 物体が距離 $r$ だけ離れているとき、互いに引き合う万有引力の大きさは $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ です。 $G$ は万有引力定数で、約 $6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ というごく小さい値です。万有引力はどんな物体の間にもはたらきますが、 $G$ が小さいので、日常の物体どうしの間の万有引力は小さすぎて感じられません。地球や太陽のように質量がとても大きいと、はっきりわかる大きさになります。力は 2 つの物体の質量の積に比例します。また、2 物体が互いに及ぼし合う万有引力は作用・反作用の関係にあり、大きさは等しく向きは逆です。地球がりんごを引く力と、りんごが地球を引く力は同じ大きさです。地球や月のように球の形をした物体では、 $r$ は中心どうしの距離をとります。

距離の 2 乗に反比例する理由は、次のように考えるとつかみやすくなります。物体から出た引力の影響が、まわりの球面全体に一様に広がると考えます。半径 $r$ の球面の面積は $4 π r^{2}$ なので、距離が 2 倍になると、影響は 4 倍の面積に薄まります。そのため力は $\frac{1}{4}$ 倍になります。

前提の技能で学んだ重力 $m g$ は、じつはおもに地球が物体を引く万有引力です。地球の質量を $M$ 、半径を $R$ とします。地表にある質量 $m$ の物体は、地球の中心から距離 $R$ のところにあります。地球の自転の影響を無視すると、重力と万有引力は等しいので $m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$ となります。両辺を $m$ で割ると、 $g = \frac{GM}{R ^{2}}$ すなわち $GM = g R^{2}$ が得られます。 $g$ が物体の質量 $m$ によらないのは、両辺の $m$ が打ち消し合うからです。

手順

2 物体の質量 $M$ , $m$ と、中心どうしの距離 $r$ を確認する（球形の天体では表面からではなく中心から測る）
力の大きさを $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ にあてはめ、質量の積に比例し距離の 2 乗に反比例することから何倍になるかを判断する（例： $r$ が 2 倍なら $F$ は $\frac{1}{4}$ 倍）
力の向きと組を確認する：万有引力はつねに引力で、2 物体が互いに及ぼし合う力は大きさが等しく向きが逆（作用・反作用）
地表の重力が話題なら、 $m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$ から $g = \frac{GM}{R ^{2}}$ 、すなわち $GM = g R^{2}$ を使う（地球の自転の影響は無視する）
選択肢の文を 1 つずつ上の関係と照らし合わせ、正しいものを選ぶ

例題

万有引力について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、地球の質量を $M$ 、半径を $R$ 、万有引力定数を $G$ 、地表での重力加速度の大きさを $g$ とし、地球の自転の影響は無視する。
ア　2 物体間の距離を 2 倍にすると、万有引力の大きさは $\frac{1}{2}$ 倍になる。
イ　地表での重力加速度の大きさは $g = \frac{GM}{R ^{2}}$ と表される。
ウ　万有引力は天体のように質量の大きい物体にだけはたらき、机の上の 2 冊の本の間にははたらかない。
エ　地球がりんごを引く万有引力の大きさは、りんごが地球を引く万有引力の大きさより大きい。

例題の解答

手順 1・2（ア）： $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ で $r$ を $2 r$ にすると、 $F$ は $\frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}$ 倍になる。 $\frac{1}{2}$ 倍ではないので、アは誤り。
手順 4（イ）：地表の物体（質量 $m$ ）にはたらく重力は、地球からの万有引力と等しいので $m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$ となる。両辺を $m$ で割ると $g = \frac{GM}{R ^{2}}$ となるので、イは正しい。
手順 2（ウ）：万有引力は質量をもつすべての物体の間にはたらく。本どうしの間の力は $G$ が小さいため非常に小さいだけで、0 ではない。ウは誤り。
手順 3（エ）：2 物体が互いに及ぼし合う万有引力は作用・反作用の関係にあり、大きさは等しい。エは誤り。
手順 5：正しいものはイである。

答え:

イ

よくある誤り

距離に反比例する（距離 2 倍で $\frac{1}{2}$ 倍）としてしまう誤り。正しくは距離の 2 乗に反比例するので、 $r$ が 2 倍なら $F = G \frac{M m}{( 2 r ) ^{2}} = \frac{1}{4} G \frac{M m}{r ^{2}}$ となり $\frac{1}{4}$ 倍になる。
地表から高さ $h$ の物体について、 $r$ を $h$ としてしまう誤り。正しくは $r$ は地球の中心からの距離 $R + h$ であり、 $F = G \frac{M m}{( R + h ) ^{2}}$ となる。
重力加速度の大きさは高さによらずつねに $g$ としてしまう誤り。正しくは高さ $h$ での大きさは $\frac{GM}{( R + h ) ^{2}} = \frac{g R ^{2}}{( R + h ) ^{2}}$ で、地表の $g$ より小さい。
質量の大きい地球のほうが強く引くので、地球がりんごを引く力はりんごが地球を引く力より大きいとしてしまう誤り。正しくは両方とも大きさ $G \frac{M m}{r ^{2}}$ で等しい（作用・反作用）。動きやすさが違うのは、りんごの質量が小さいためである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量をもつ 2 つの物体の間にはたらく万有引力について述べた次の文ア〜オのうち、正しいものをすべて選べ。ただし、物体は大きさの無視できる小物体、または質量が一様に分布した球とし、球の場合の距離は中心間の距離とする。万有引力定数を $G$ とする。また、エでは地球の自転の影響は無視する。
- ア　2 物体の間にはたらく万有引力の大きさは、2 物体の質量の積に比例する。
- イ　2 物体の質量を変えずに、物体間の距離を 2 倍にすると、万有引力の大きさは $\frac{1}{2}$ 倍になる。
- ウ　万有引力は、2 物体が互いに接触しているときにだけはたらく。
- エ　地表付近の物体にはたらく重力は地球からの万有引力とみなせるので、地球の質量を $M$ 、半径を $R$ 、地表での重力加速度の大きさを $g$ とすると、 $GM = g R^{2}$ の関係が成り立つ。
- オ　万有引力は、天体のように質量の非常に大きい物体どうしの間にだけはたらき、身のまわりの物体どうしの間にははたらかない。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
素粒子と基本的な力（高校物理原子（知識））
重力加速度から求める地球の質量（高校地学地球の形と内部構造）
潮汐（高校地学海洋（知識））
静水圧平衡（大学物理宇宙物理・宇宙論）