円運動・単振動・万有引力（知識）の問題

地球を半径 $R$ の、質量が一様に分布した球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。空気抵抗と地球の自転の影響は無視し、地表から打ち出した物体にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。

次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。

> 地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の速さは $\sqrt{gR}$ であり、この速さを（ a ）という。また、地表から打ち出した物体が地球の引力を振り切って無限の遠方まで達するための最小の初速の大きさは、$\sqrt{gR}$ の（ b ）倍である。

太陽のまわりを公転する惑星の運動について述べた次の文ア〜オのうち、ケプラーの法則の内容として正しいものをすべて選べ。ただし、太陽は静止しているものとし、惑星にはたらく力は太陽からの万有引力だけとする（ほかの惑星からの影響は無視する）。また、「半長軸」は楕円軌道の長軸の長さの半分を表す。

• ア　惑星は、太陽を楕円の中心とする楕円軌道を描いて運動する。
• イ　1 つの惑星について、太陽に最も近い点（近日点）での速さは、太陽から最も遠い点（遠日点）での速さより小さい。
• ウ　1 つの惑星について、太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に通過する面積は、軌道上のどこでも同じである。
• エ　惑星の公転周期は、軌道の半長軸の 2 乗に比例する。
• オ　公転周期の 2 乗を軌道の半長軸の 3 乗で割った値は、太陽のまわりを回るどの惑星でも同じである。

質量 $m$ の物体が、ある直線上で単振動をしている。振動の中心を原点とし、物体の変位を $x$ とすると、物体にはたらく合力 $F$ は、正の定数 $K$ を用いて $F=-Kx$ と表される。空気抵抗や摩擦は無視する。

次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。

> 合力 $F=-Kx$ は、つねに振動の中心を向き、物体を振動の中心にもどそうとするはたらきをもつ。このような力を（ a ）という。また、この単振動の周期は $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ と表されるので、$m$ と $K$ を変えずに振幅だけを 2 倍にすると、周期は（ b ）。

地球のまわりを等速円運動している 2 つの人工衛星 A, B がある。衛星 A は地表から高さ約 $400\mathrm{km}$ の円軌道を回っており、衛星 B は静止衛星である。衛星 B の軌道半径は衛星 A の軌道半径より大きい。どちらの衛星にも、はたらく力は地球からの万有引力だけであるとする。衛星 A, B について述べた文として最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。

• ア　衛星 B の速さは、衛星 A の速さより大きい。
• イ　衛星 B が地球のまわりを 1 周する周期は、衛星 A の周期より短い。
• ウ　衛星 B は、赤道の上空を、地球の自転と同じ向きに、自転と同じ周期で回っている。
• エ　衛星 A には、地球からの万有引力のほかに、円の中心向きの向心力という別の力がはたらいている。

$xy$ 平面上で、点 P が原点 O を中心とする半径 $A$ の円周上を、一定の角速度 $\omega$ で等速円運動している。点 P から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸との交点を Q とする（Q は P の $x$ 軸への正射影）。このとき Q は、$x$ 軸上で原点 O を中心とし、振幅 $A$ の単振動をする。Q の変位を $x$ とし、$x$ 軸の正の向きを正とする。

Q の運動について述べた次の文ア〜オのうち、正しいものをすべて選べ。

• ア　Q の速さは、Q が原点 O を通過するときに最大となり、その大きさは $A\omega$ である。
• イ　Q の加速度の大きさは、Q が原点 O を通過するときに最大となる。
• ウ　Q の速さは、Q が $x=A$ や $x=-A$ の位置（振動の端）にきたときに 0 となる。
• エ　Q の加速度の向きは、つねに Q の速度の向きと同じである。
• オ　Q の加速度は $-{\omega }^{2}x$ と表され、つねに変位と逆向きで、大きさは変位の大きさに比例する。