円運動・単振動・万有引力（知識）の問題
平面上で、点 P が原点 O を中心とする半径 の円周上を、一定の角速度 で等速円運動している。点 P から 軸に下ろした垂線と 軸との交点を Q とする（Q は P の 軸への正射影）。このとき Q は、 軸上で原点 O を中心とし、振幅 の単振動をする。Q の変位を とし、 軸の正の向きを正とする。
Q の運動について述べた次の文ア〜オのうち、正しいものをすべて選べ。
- ア Q の速さは、Q が原点 O を通過するときに最大となり、その大きさは である。
- イ Q の加速度の大きさは、Q が原点 O を通過するときに最大となる。
- ウ Q の速さは、Q が や の位置（振動の端）にきたときに 0 となる。
- エ Q の加速度の向きは、つねに Q の速度の向きと同じである。
- オ Q の加速度は と表され、つねに変位と逆向きで、大きさは変位の大きさに比例する。
この問題で使うもの
- 単振動の変位・速度・加速度（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（12 技能）
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ヒント
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ヒント 1
「単振動の変位・速度・加速度」の知識を使います。Q の運動を、等速円運動する P の速度・加速度の 成分として考えましょう。
ヒント 2
P の速度は接線方向で大きさ 、P の加速度は中心向きで大きさ です。Q の加速度は と表されます。
ヒント 3
から、原点 O での加速度の大きさがわかるので イ を判定できます。エ は、Q が原点 O から端へ向かって進んでいるときの速度と加速度の向きを比べてみましょう。
答えと解説
答えを見る
ア, ウ, オ
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解説を読む
使う知識は「単振動の変位・速度・加速度」です。単振動を、等速円運動する点 P の正射影として考えます。
速度について
点 P の速度は円の接線方向で、大きさは です。Q の速度は、この速度の 成分です。
- Q が原点 O にあるとき、P は 軸上にあり、P の速度は 軸と平行です。このとき P の速度がそのまま Q の速度になるので、Q の速さは最大で です。→ ア は正しい。
- Q が （振動の端）にあるとき、P は 軸上にあり、P の速度は 軸と平行です。その 成分は 0 なので、Q の速さは 0 です。→ ウ は正しい。
加速度について
点 P の加速度は円の中心 O を向き、大きさは です。Q の加速度は、この加速度の 成分です。P の位置の 座標が のとき、中心向きの加速度の 成分は になります。
- Q の加速度は で、変位 と逆向き（原点 O 向き）、大きさは に比例します。→ オ は正しい。
- 原点 O（）では なので、加速度の大きさは最大ではなく 0 です。加速度の大きさが最大 になるのは振動の端です。→ イ は誤り。
- 加速度はつねに原点 O を向きますが、速度の向きは運動の向きです。例えば Q が の範囲で端に向かって進んでいるとき、速度は正の向き、加速度は負の向き（O 向き）で、向きが逆になっています。→ エ は誤り。
よって、正しいものは ア, ウ, オ です。
別解
、、。ア: 原点通過時に速さ最大で 、正しい。イ: 加速度の大きさ は端で最大、原点では なので誤り。ウ: 端で速さ 、正しい。エ: 加速度は中心向きで、速度と同じ向きとは限らないので誤り。オ: で正しい。よって ア, ウ, オ。