円運動・単振動・万有引力（知識）の問題

太陽のまわりを公転する惑星の運動について述べた次の文ア〜オのうち、ケプラーの法則の内容として正しいものをすべて選べ。ただし、太陽は静止しているものとし、惑星にはたらく力は太陽からの万有引力だけとする（ほかの惑星からの影響は無視する）。また、「半長軸」は楕円軌道の長軸の長さの半分を表す。

• ア　惑星は、太陽を楕円の中心とする楕円軌道を描いて運動する。
• イ　1 つの惑星について、太陽に最も近い点（近日点）での速さは、太陽から最も遠い点（遠日点）での速さより小さい。
• ウ　1 つの惑星について、太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に通過する面積は、軌道上のどこでも同じである。
• エ　惑星の公転周期は、軌道の半長軸の 2 乗に比例する。
• オ　公転周期の 2 乗を軌道の半長軸の 3 乗で割った値は、太陽のまわりを回るどの惑星でも同じである。

地球のまわりを回る人工衛星と、宇宙速度について述べた次の文ア〜カのうち、正しいものをすべて選べ。ただし、地球は質量が一様に分布した球とし、人工衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。また、第一宇宙速度・第二宇宙速度は、地表から打ち上げる物体について、空気抵抗と地球の自転の影響を無視して考えたものとする。

• ア　静止衛星は、赤道の真上の円軌道を、地球の自転と同じ向きに、自転と同じ周期で回っている。
• イ　地球のまわりを等速円運動する人工衛星は、軌道半径が大きいものほど速さが大きい。
• ウ　第一宇宙速度は、地表すれすれの高さの円軌道を等速円運動する人工衛星の速さである。
• エ　第二宇宙速度は、地表から打ち上げた物体が地球の万有引力を振り切って、地球から無限に遠くまで遠ざかるために必要な最小の初速の大きさである。
• オ　第二宇宙速度の大きさは、第一宇宙速度の大きさよりも小さい。
• カ　人工衛星の中で物体が浮いているように見えるのは、人工衛星の中の物体には地球からの万有引力がはたらかないからである。

地球を半径 $R$ の、質量が一様に分布した球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。空気抵抗と地球の自転の影響は無視し、地表から打ち出した物体にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。

次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。

> 地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の速さは $\sqrt{gR}$ であり、この速さを（ a ）という。また、地表から打ち出した物体が地球の引力を振り切って無限の遠方まで達するための最小の初速の大きさは、$\sqrt{gR}$ の（ b ）倍である。

質量をもつ 2 つの物体の間にはたらく万有引力について述べた次の文ア〜オのうち、正しいものをすべて選べ。ただし、物体は大きさの無視できる小物体、または質量が一様に分布した球とし、球の場合の距離は中心間の距離とする。万有引力定数を $G$ とする。また、エでは地球の自転の影響は無視する。

• ア　2 物体の間にはたらく万有引力の大きさは、2 物体の質量の積に比例する。
• イ　2 物体の質量を変えずに、物体間の距離を 2 倍にすると、万有引力の大きさは $\frac{1}{2}$ 倍になる。
• ウ　万有引力は、2 物体が互いに接触しているときにだけはたらく。
• エ　地表付近の物体にはたらく重力は地球からの万有引力とみなせるので、地球の質量を $M$、半径を $R$、地表での重力加速度の大きさを $g$ とすると、$GM=g{R}^2$ の関係が成り立つ。
• オ　万有引力は、天体のように質量の非常に大きい物体どうしの間にだけはたらき、身のまわりの物体どうしの間にははたらかない。

なめらかな水平な台の中央に小さな穴をあけ、軽くて伸びない糸を通した。台の上側の糸の端に小球をつけ、台の下側の糸の端を手で持って、小球を穴を中心とする水平面内の円周上で一定の速さで回転させた。小球にはたらく力は、重力・台からの垂直抗力・糸の張力だけとし、空気抵抗は無視する。運動は台に対して静止している観測者から見たものとする。この小球の運動について述べた次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。

「小球が円運動をしているとき、円の中心向きの向心力の役割をしているのは（　a　）である。小球がある点を通過する瞬間に手を離して糸をゆるめ、糸が小球を引かなくなると、小球はその瞬間の位置から（　b　）にまっすぐ進む。」