円運動・単振動・万有引力（知識）の問題

地球のまわりを運動する人工衛星と、宇宙速度について述べた次の文ア〜エのうち、正しいものを 1 つ選べ。ただし、地球は質量が一様に分布した半径 $R$ の球とし、地球は自転しているものとする。地表での重力加速度の大きさ $g$ は、自転の影響を含まない値（地表で物体が受ける万有引力だけによる加速度の大きさ）とする。また、宇宙速度は地球の中心に対する速さとし、地球の自転による地表の速さは考えない。空気抵抗と、地球以外の天体からの万有引力は無視する。

• ア　静止衛星は、地球の自転と同じ向きに、地球の公転周期（地球が太陽のまわりを 1 周する時間）と同じ周期で、赤道上空の円軌道を回る人工衛星である。
• イ　地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の速さを第一宇宙速度といい、その大きさは $\sqrt{2gR}$ と表される。
• ウ　地球のまわりを等速円運動する人工衛星は、軌道半径が大きいものほど、速さが小さく、周期が長い。
• エ　地表から打ち出した物体が地球の引力を振り切って無限の遠方まで飛んでいくために必要な最小の初速の大きさを第二宇宙速度といい、その大きさは第一宇宙速度の $2$ 倍である。

地球を半径 $R$ の、質量が一様に分布した球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。空気抵抗と地球の自転の影響は無視し、地表から打ち出した物体にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。

次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。

> 地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の速さは $\sqrt{gR}$ であり、この速さを（ a ）という。また、地表から打ち出した物体が地球の引力を振り切って無限の遠方まで達するための最小の初速の大きさは、$\sqrt{gR}$ の（ b ）倍である。

太陽のまわりを公転する惑星の運動と、太陽と惑星の間にはたらく万有引力について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、惑星にはたらく力は太陽からの万有引力だけとし、ほかの惑星からの影響は無視する。また、太陽は静止しているものとみなす。

• ア　太陽と惑星の間にはたらく万有引力の大きさは、太陽と惑星の間の距離に反比例する。
• イ　1 つの惑星について見ると、惑星の公転の速さは、楕円軌道上のどの位置でも同じである。
• ウ　惑星の公転周期の 2 乗を軌道の長半径（半長軸）の 3 乗で割った値は、太陽のまわりを公転するどの惑星についても同じ値になる。
• エ　惑星が太陽から受ける万有引力の大きさは、太陽が惑星から受ける万有引力の大きさよりも大きい。

木星のまわりを、2 つの衛星 X と Y がそれぞれ楕円軌道を描いて公転している。X の軌道の長半径（半長軸）は、Y の軌道の長半径より小さい。各衛星にはたらく力は木星からの万有引力だけとし、木星は静止しているものとする。また、衛星の質量は木星の質量に比べて十分小さいものとする。

この 2 つの衛星の運動と万有引力について述べた文として正しいものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。

• ア　軌道の長半径が小さい X の公転周期は、Y の公転周期より長い。
• イ　公転周期の 2 乗を軌道の長半径の 3 乗で割った値は、X と Y で等しい。
• ウ　X の速さは、X が木星に最も近づいたときに最も小さくなる。
• エ　木星が X に及ぼす万有引力の大きさは、X が木星に及ぼす万有引力の大きさより大きい。
• オ　木星と X の間にはたらく万有引力の大きさは、木星と X の距離に反比例する。

太陽のまわりを公転する惑星の運動と、万有引力について述べた文として誤っているものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、惑星にはたらく力は太陽からの万有引力だけとし、ほかの惑星からの影響は無視する。

• ア　惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描いて運動する。
• イ　惑星と太陽を結ぶ線分が一定時間に通過する面積は一定であるから、惑星は太陽から遠い位置にあるときほど速く運動する。
• ウ　惑星の公転周期の 2 乗は、楕円軌道の半長軸（長半径）の 3 乗に比例し、その比例定数はどの惑星についても同じである。
• エ　2 つの物体の間にはたらく万有引力の大きさは、それぞれの質量の積に比例し、物体間の距離の 2 乗に反比例する。