円運動・単振動・万有引力（知識）の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理円運動・単振動・万有引力（知識）

地球のまわりを運動する人工衛星と、宇宙速度について述べた次の文ア〜エのうち、正しいものを 1 つ選べ。ただし、地球は質量が一様に分布した半径 $R$ の球とし、地球は自転しているものとする。地表での重力加速度の大きさ $g$ は、自転の影響を含まない値（地表で物体が受ける万有引力だけによる加速度の大きさ）とする。また、宇宙速度は地球の中心に対する速さとし、地球の自転による地表の速さは考えない。空気抵抗と、地球以外の天体からの万有引力は無視する。

ア　静止衛星は、地球の自転と同じ向きに、地球の公転周期（地球が太陽のまわりを 1 周する時間）と同じ周期で、赤道上空の円軌道を回る人工衛星である。
イ　地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の速さを第一宇宙速度といい、その大きさは $2 g R$ と表される。
ウ　地球のまわりを等速円運動する人工衛星は、軌道半径が大きいものほど、速さが小さく、周期が長い。
エ　地表から打ち出した物体が地球の引力を振り切って無限の遠方まで飛んでいくために必要な最小の初速の大きさを第二宇宙速度といい、その大きさは第一宇宙速度の $2$ 倍である。

この問題で使うもの

人工衛星と静止衛星（説明と入口の問題）
第一宇宙速度と第二宇宙速度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

人工衛星の円運動では、万有引力が向心力になることを使い、各文の数量関係を確かめる。

ヒント 2

円軌道の速さは $v = \frac{GM}{r}$ 、第二宇宙速度は力学的エネルギー保存則 $\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$ から求められる。また $GM = g R^{2}$ である。

ヒント 3

静止衛星が「地上から静止して見える」ためには、周期を何に合わせる必要があるかを考えると、アの正誤が決まる。イとエは宇宙速度の式を実際に導いて比べるとよい。

答えと解説

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ウ

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解説を読む

万有引力定数を $G$ 、地球の質量を $M$ とする。 $g$ は地表での万有引力による加速度の大きさなので、地表では $m g = \frac{GM m}{R ^{2}}$ より $GM = g R^{2}$ である。

ウ（正しい）: 質量 $m$ の人工衛星が半径 $r$ の円軌道を速さ $v$ で回るとき、万有引力が向心力になるので
$m \frac{v ^{2}}{r} = \frac{GM m}{r ^{2}} より v = \frac{GM}{r}$
周期は
$T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$
となる。 $r$ が大きいほど $v$ は小さく、 $T$ は長い（ $T^{2} \propto r^{3}$ はケプラーの第三法則と同じ関係）。よって正しい。

ア（誤り）: 静止衛星は地上から静止して見える衛星なので、自転する地球に合わせて回る必要があり、周期は地球の自転周期（約 1 日）に等しい。地球の公転周期（約 1 年）ではないので誤り。自転と同じ向きに赤道上空の円軌道を回る、という部分は正しい。

イ（誤り）: 地表すれすれ（ $r = R$ ）の円軌道では $m \frac{v _{1}^{2}}{R} = m g$ より $v_{1} = g R$ （約 $7.9 km/s$ ）である。「 $2 g R$ 」が誤りで、 $2 g R$ は第二宇宙速度の大きさである。

エ（誤り）: 打ち出した後に物体にはたらく力は保存力である万有引力だけなので、力学的エネルギー保存則が成り立つ。万有引力による位置エネルギーの基準を無限遠にとると、無限遠で速さ $0$ になる最小の初速 $v_{2}$ は
$\frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 より v_{2} = \frac{2 GM}{R} = 2 g R$
となり（約 $11.2 km/s$ ）、第一宇宙速度の $2$ 倍である。「 $2$ 倍」が誤り。第二宇宙速度の意味の部分は正しい。

したがって、正しいものはウである。

別解

各選択肢を確かめる。
- ア: 静止衛星の周期は地球の自転周期（約 24 時間）であり、公転周期（約 1 年）ではない。誤り。
- イ: 地表すれすれの円軌道では $m \frac{v ^{2}}{R} = m g$ より $v = g R$ 。 $2 g R$ は第二宇宙速度の大きさ。誤り。
- ウ: 円運動の運動方程式 $m \frac{v ^{2}}{r} = \frac{GM m}{r ^{2}}$ より $v = \frac{GM}{r}$ で、 $r$ が大きいほど $v$ は小さい。周期は $T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ で、 $r$ が大きいほど長い。正しい。
- エ: 第二宇宙速度は $2 g R$ で、第一宇宙速度 $g R$ の $2$ 倍であり、2 倍ではない。誤り。

正しいのはウのみ。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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