地表すれすれの円軌道の速さ が第一宇宙速度、地球の引力を振り切って無限遠に達するための最小の初速 （第一宇宙速度の 倍）が第二宇宙速度であることを判定でき、その名称を答えられる
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地表から物体を水平に打ち出すと、その後の運動は打ち出す速さによって大きく変わります。地表すれすれを円軌道で回り続ける速さを第一宇宙速度、地球の引力を振り切って無限の遠方まで達するための最小の初速を第二宇宙速度といいます。この技能では、地球の半径 と地表での重力加速度の大きさ を使って、第一宇宙速度が （約 7.9 km/s）、第二宇宙速度が （約 11.2 km/s）であることを導きます。そのうえで、それぞれの速さが何を表すかを判定し、名称を答えられるようにします。人工衛星の打ち上げや惑星探査機の話題で使います。
【第一宇宙速度】質量 の物体が、地表すれすれ（軌道半径 ）を速さ で等速円運動している場合を考えます。空気抵抗は無視します。このとき、万有引力が向心力の役割をします。地表での万有引力の大きさは重力の大きさ に等しいとみなせるので、 です（ は万有引力定数、 は地球の質量）。よって円運動の運動方程式は となり、 が得られます。、 を代入すると約 です。
【第二宇宙速度】地球から遠ざかる物体は、引力に逆らって進むので減速していきます。引力は遠くへ行くほど弱くなりますが、どれだけ離れても 0 にはなりません。そこでエネルギーで考えます。万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準 (0) として、地球の中心から距離 の点で と表される量です。地球に近いほど位置エネルギーは小さく（負の値で絶対値が大きく）なり、遠ざかるほど 0 に近づきます。空気抵抗がなければ、運動エネルギーとこの位置エネルギーの和（力学的エネルギー）は一定に保たれます。無限遠では位置エネルギーが 0 なので、そこでの運動エネルギーは力学的エネルギーそのものです。運動エネルギーは負になれないので、無限遠に達しても速さが 0 以上であるためには、力学的エネルギーが 0 以上であればよいことになります。地表での力学的エネルギーがちょうど 0 になる初速が、最小の初速 です。すなわち です。 より なので、（約 ）となります。
地表から水平に打ち出した場合、初速が より大きく より小さいときは、力学的エネルギーが負なので物体は無限遠に達することができず、打ち出した点が地球に最も近い点となる楕円軌道を描いて地球を回ります。初速が 以上になると、地球に戻ってこなくなります。このように、2 つの速さは「地表すれすれの円軌道でちょうど回れる速さ」と「ちょうど脱出できる最小の速さ」という境目を表しています。
問われている速さが「地表すれすれの円軌道の速さ」か「地球の引力を振り切って無限遠に達するための最小の初速」かを読み取る。
円軌道の場合は、向心力＝重力として から とする。これが第一宇宙速度（約 7.9 km/s）である。
無限遠に達する場合は、地表での力学的エネルギーが 0 となる条件 と から とする。これが第二宇宙速度（約 11.2 km/s）である。
第二宇宙速度 第一宇宙速度（2 倍ではない）であることを確認し、選択肢の名称・式・倍率・運動のようすと照らし合わせる。
地球の半径を 、地表での重力加速度の大きさを とし、空気抵抗と地球の自転の影響は無視する。地表から打ち出す物体の速さについての記述として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア 地表すれすれを円軌道で回り続ける速さを第一宇宙速度といい、その大きさは である。
イ 地球の引力を振り切って無限の遠方に達するための最小の初速を第二宇宙速度といい、その大きさは第一宇宙速度の 倍である。
ウ 第二宇宙速度の大きさは第一宇宙速度の 2 倍である。
エ 第一宇宙速度より大きな速さで地表から水平に打ち出された物体は、すべて地球から無限の遠方へ飛び去る。
手順 1：各選択肢がどちらの速さについて述べているかを読み取る。ア・エは円軌道の速さ（第一宇宙速度）にかかわる記述、イ・ウは脱出の速さ（第二宇宙速度）にかかわる記述である。
手順 2：地表すれすれの円軌道では が成り立つので、第一宇宙速度は である。アは としているので誤り。
手順 3：無限遠に達するための最小の初速は、地表での力学的エネルギーが 0 となる条件 から求まる。 を使うと、第二宇宙速度は である。
手順 4：2 つを比べると なので、イは正しく、ウは誤りである。エについては、地表から水平に打ち出した初速が より大きくても より小さければ、力学的エネルギーが負なので無限遠には達せず、物体は楕円軌道を描いて地球のまわりを回る。したがってエも誤りである。
よって、正しいものはイ。
答え: イ
第二宇宙速度を第一宇宙速度の 2 倍としてしまう誤り。正しくは、 から となり、 倍（約 1.4 倍）である。
第一宇宙速度と第二宇宙速度の名称を取り違える誤り。正しくは、地表すれすれの円軌道の速さ （約 7.9 km/s）が第一宇宙速度、無限遠に達するための最小の初速 （約 11.2 km/s）が第二宇宙速度である。
第一宇宙速度を超えれば地球から飛び去ると考えてしまう誤り。正しくは、地表から水平に打ち出した場合、 では力学的エネルギーが負なので楕円軌道を描いて地球を回り続け、 のときに初めて無限遠に達する。
をどの高さの円軌道にも使ってしまう誤り。正しくは、これは軌道半径が （地表すれすれ）で万有引力が に等しい場合の速さである。軌道半径 の円軌道では より となり、 が大きいほど小さい。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
地球を、質量が一様に分布した球とみなす。地表から物体を打ち出すとき、打ち出す速さが小さいと、物体は地球の万有引力に引きもどされて再び地表にもどってくる。打ち出す速さを大きくしていくと、やがて物体は地球のまわりを回る人工衛星となり、さらに大きくすると、物体は地球にもどってこなくなる。
空気抵抗と地球の自転、地球以外の天体からの万有引力を無視したとき、地表から打ち出した物体が、地球の万有引力をふり切って地球から無限に遠く離れていくことができるための、打ち出す速さの最小値を何というか。
地球のまわりを回る人工衛星と、宇宙速度について述べた次の文ア〜カのうち、正しいものをすべて選べ。ただし、地球は質量が一様に分布した球とし、人工衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。また、第一宇宙速度・第二宇宙速度は、地表から打ち上げる物体について、空気抵抗と地球の自転の影響を無視して考えたものとする。
地球のまわりを運動する人工衛星と、宇宙速度について述べた次の文ア〜エのうち、正しいものを 1 つ選べ。ただし、地球は質量が一様に分布した半径 の球とし、地球は自転しているものとする。地表での重力加速度の大きさ は、自転の影響を含まない値（地表で物体が受ける万有引力だけによる加速度の大きさ）とする。また、宇宙速度は地球の中心に対する速さとし、地球の自転による地表の速さは考えない。空気抵抗と、地球以外の天体からの万有引力は無視する。